Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Intégrales Encadrements - Bac S Amérique du Nord 2008

Exercice 4

7 points - Commun à tous les candidats

Partie A

Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a,b]\left[a, b\right] avec a<ba < b.


Partie B

On considère la fonction ff définie sur [0,+[\left[0, +\infty \right[ par : f(x)=x+ln(1+ex)f\left(x\right)=x+\ln\left(1+e^{ - x}\right). Sa courbe représentative CC ainsi que la droite DD d'équation y=xy=x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

Intégrales Encadrements

  1. Montrer que ff est croissante et positive sur [0,+[\left[0 , +\infty \right[.

    1. Montrer que la courbe CC admet pour asymptote la droite D.

    2. Etudier la position de CC par rapport à D.

  2. Soit II l'intégrale définie par : I=01ln(1+ex)dx=01[f(x)x]dxI= \int_{0}^{1} \ln\left(1+e^{ - x}\right) \text{d}x= \int_{0}^{1} \left[f\left(x\right) - x\right] \text{d}x . On ne cherchera pas à calculer II.

    1. Donner une intérprétation géométrique de II.

    2. Montrer que pour tout réel t0t \geqslant 0, on a ln(1+t)t\ln\left(1+t\right) \leqslant t.

      (On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur [0,+[\left[0,+\infty \right[ par g(t)=ln(1+t)tg\left(t\right)=\ln\left(1+t\right) - t)

      On admettra que pour tout réel t0t \geqslant 0, on a tt+1ln(1+t)\frac{t}{t+1} \leqslant \ln\left(1+t\right).

    3. En déduire que pour tout xx de [0,+[\left[0 , +\infty \right[, on a : exex+1ln(1+ex)ex\frac{e^{ - x}}{e^{ - x}+1} \leqslant \ln\left(1+e^{ - x}\right) \leqslant e^{ - x}.

    4. Montrer que ln(21+e1)I1e1\ln\left(\frac{2}{1+e^{ - 1}}\right) \leqslant I \leqslant 1 - e^{ - 1}.

    5. En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.

  3. On désigne par M et N les points de même abscisse xx appartenant respectivement à CC et D.

    On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.

    Déterminer l'ensemble des valeurs de xx pour lesquelles M et N sont indiscernables.
    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.