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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites et intégrales - Bac S Amérique du Nord 2008

Exercice 4

4 points - Commun à tous les candidats

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à 13\frac{1}{3}.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

  1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.

    1. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?

    2. Quelle est son espérance ?

    3. Calculer P(X=2)P\left(X=2\right).

  2. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.

    On considère les événements D et A suivants:

    •ᅠᅠ D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;

    •ᅠᅠ A : « obtenir exactement deux 6 ».

    1. Calculer la probabilité des événements suivants :

      •ᅠᅠ « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;

      •ᅠᅠ « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».

      (On pourra construire un arbre de probabilité).

    2. En déduire que: p(A)=748p\left(A\right)=\frac{7}{48}.

    3. Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?

  3. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé nn fois de suite (nn désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

    On note BnB_{n} l'événement « obtenir au moins un 6 parmi ces nn lancers successifs ».

    1. Déterminer, en fonction de nn, la probabilité pnp_{n} de l'événement BnB_{n}.

    2. Calculer la limite de la suite (pn)\left(p_{n}\right). Commenter ce résultat.

Corrigé

    1. La variable aléatoire XX suit une loi binômiale de paramètres n=3n=3 et p=16p=\frac{1}{6}

    2. E(X)=np=3×16=12E\left(X\right)=np=3\times \frac{1}{6}=\frac{1}{2}

    3. P(X=2)=(32)×(16)2×56=3×5216=572P\left(X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\frac{1}{6}\right)^{2}\times \frac{5}{6}=3\times \frac{5}{216}=\frac{5}{72}.

    1. L'évènement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est DAD \cap A :

      p(DA)=p(D)×pD(A)p\left(D \cap A\right)=p\left(D\right)\times p_{D}\left(A\right)

      La probabilité pD(A) p_{D}\left(A\right) est la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé bien équilibré; c'est à dire  pD(A)=p(X=2)=572p_{D}(A)=p(X=2)=\frac{5}{72} d'après la première question donc :

      p(DA)=12×572=5144p\left(D \cap A\right)=\frac{1}{2}\times \frac{5}{72}=\frac{5}{144}

      L'évènement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » est DA\overline{D} \cap A

      p(DA)=p(D)×pD(A)p\left(\overline{D} \cap A\right)=p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}\left(A\right)

      La probabilité pD(A)p_{\overline{D}}\left(A\right) correspond à « la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé truqué » :

      pD(A)=(32)×(13)2×23=29p_{\overline{D}}\left(A\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}

      Donc :

      p(DA)=12×29=19p\left(\overline{D} \cap A\right)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{9}=\frac{1}{9}

      Suites et intégrales - Bac S Amérique du Nord 2008

    2. D'après le théorème des probabilités totales :

      p(A)=p(DA)+p(DA)=19+5144=16144+5144=21144=748p\left(A\right)=p\left(\overline{D} \cap A\right)+p\left(D \cap A\right)=\frac{1}{9}+\frac{5}{144}=\frac{16}{144}+\frac{5}{144}=\frac{21}{144}=\frac{7}{48}

    3. Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué est :

      pA(D)=p(DA)p(A)=19748=19×487=1621p_{A}\left(\overline{D}\right)=\frac{p\left(\overline{D} \cap A\right)}{p\left(A\right)}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{7}{48}}=\frac{1}{9}\times \frac{48}{7}=\frac{16}{21}

    1. L'évènement Bn\overline{B_{n}} contraire de BnB_{n} est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces nn lancers successifs ».

      p(Bn)=p(BnD)+p(BnD)=pD(Bn)×p(D)+pD(Bn)×p(D)p\left(\overline{B_{n}}\right)=p\left(\overline{B_{n}} \cap D\right)+p\left(\overline{B_{n}} \cap \overline{D}\right)=p_{D}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(D\right)+p_{\overline{D}}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(\overline{D}\right)

      p(Bn)=12×(56)n+12×(23)np\left(\overline{B_{n}}\right)=\frac{1}{2}\times \left(\frac{5}{6}\right)^{n}+\frac{1}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{n}

      Donc

      pn=1p(Bn)=112×(56)n12×(23)np_{n}=1 - p\left(\overline{B_{n}}\right)=1 - \frac{1}{2}\times \left(\frac{5}{6}\right)^{n} - \frac{1}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{n}

    2. Comme 56<1\frac{5}{6} < 1 et 23<1\frac{2}{3} < 1:

      limnpn=limn112×(56)n12×(23)n=1\lim\limits_{n\rightarrow \infty } p_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1 - \frac{1}{2}\times \left(\frac{5}{6}\right)^{n} - \frac{1}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{n}=1.

      Si on lance le dé "un très grand nombre de fois", on est "pratiquement assuré" d'obtenir au moins un 6 quel que soit le dé choisi.