Suites et intégrales - Bac S Amérique du Nord 2008
Exercice 4
4 points - Commun à tous les candidats
On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à 31.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
Quelle est son espérance ?
Calculer P(X=2).
On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
On considère les événements D et A suivants:
•ᅠᅠ D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
•ᅠᅠ A : « obtenir exactement deux 6 ».
Calculer la probabilité des événements suivants :
•ᅠᅠ « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
•ᅠᅠ « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité).
En déduire que: p(A)=487.
Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?
On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).
On note Bn l'événement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».
Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de l'événement Bn.
Calculer la limite de la suite (pn). Commenter ce résultat.
La variable aléatoire X suit une loi binômiale de paramètres n=3 et p=61
E(X)=np=3×61=21
P(X=2)=(32)×(61)2×65=3×2165=725.
L'évènement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est D∩A :
p(D∩A)=p(D)×pD(A)
La probabilité pD(A) est la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé bien équilibré; c'est à dire pD(A)=p(X=2)=725 d'après la première question donc :
p(D∩A)=21×725=1445
L'évènement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » est D∩A
p(D∩A)=p(D)×pD(A)
La probabilité pD(A) correspond à « la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé truqué » :
pD(A)=(32)×(31)2×32=92
Donc :
p(D∩A)=21×92=91
D'après le théorème des probabilités totales :
p(A)=p(D∩A)+p(D∩A)=91+1445=14416+1445=14421=487
Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué est :
pA(D)=p(A)p(D∩A)=48791=91×748=2116
L'évènement Bn contraire de Bn est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces n lancers successifs ».
p(Bn)=p(Bn∩D)+p(Bn∩D)=pD(Bn)×p(D)+pD(Bn)×p(D)
p(Bn)=21×(65)n+21×(32)n
Donc
pn=1−p(Bn)=1−21×(65)n−21×(32)n
Comme 65<1 et 32<1:
n→∞limpn=n→∞lim1−21×(65)n−21×(32)n=1.
Si on lance le dé "un très grand nombre de fois", on est "pratiquement assuré" d'obtenir au moins un 6 quel que soit le dé choisi.
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