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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes et géométrie - Bac S Amérique du Nord 2008

Exercice 1

5 points - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u⃗,v⃗)\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) ; unité graphique : 4 cm.

On considère le point A d'affixe zA=2+iz_{A}=2+i et le cercle (Γ)\left(\Gamma \right) de centre A et de rayon 2\sqrt{2}.

  1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.

    1. Déterminer les affixes des points d'intersection de (Γ)\left(\Gamma \right) et de l'axe (O;u⃗)\left(O; \vec{u}\right).

    2. On désigne par B et C les points d'affixes respectives zB=1z_{B}=1 et zC=3z_{C}=3.

      Déterminer l'affixe zDz_{D} du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle (Γ)\left(\Gamma \right).

  3. Soit M le point d'affixe 35+65i\frac{3}{5}+\frac{6}{5} i.

    1. Calculer le nombre complexe zD−zMzB−zM\frac{z_{D} - z_{M}}{z_{B} - z_{M}}.

    2. Interpréter géométriquement un argument du nombre zD−zMzB−zM\frac{z_{D} - z_{M}}{z_{B} - z_{M}} ; en déduire que le point M appartient au cercle (Γ)\left(\Gamma \right).

  4. On note (Γ′)\left(\Gamma ^{\prime}\right) le cercle de diamètre [AB].

    La droite (BM) recoupe le cercle (Γ′)\left(\Gamma ^{\prime}\right) en un point N.

    1. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.

    2. Déterminer l'affixe du point N.

  5. On désigne par M' l'image du point M par la rotation de centre B et d'angle −π2 - \frac{\pi }{2}.

    1. Déterminer l'affixe du point M'.

    2. Montrer que le point M' appartient au cercle (Γ′)\left(\Gamma ^{\prime}\right).

Corrigé

  1. Nombres complexes et géométrie - Corrigé

    1. L'équation de (Γ)\left(\Gamma \right) est :

      (x−2)2+(y−1)2=2\left(x - 2\right)^{2}+\left(y - 1\right)^{2}=2

      Ce cercle coupe l'axe des abscisses en deux points d'ordonnée nulle et dont l'abscisse vérifie:

      (x−2)2+(0−1)2=2\left(x - 2\right)^{2}+\left(0 - 1\right)^{2}=2

      (x−2)2=1\left(x - 2\right)^{2}=1

      donc x1=1x_{1}=1 et x2=3x_{2}=3

      Les affixes des points d'intersections B et C sont donc

      zB=1z_{B}=1 et zC=3z_{C}=3.

    2. A est le milieu de [BD] donc

      zA=zB+zD2z_{A}=\frac{z_{B}+z_{D}}{2}

      d'où

      zD=2zA−zB=3+2iz_{D}=2z_{A} - z_{B}=3+2i

    1. zD−zMzB−zM=3+2i−3+6i51−3+6i5=12+4i2−6i\frac{z_{D} - z_{M}}{z_{B} - z_{M}}=\frac{3+2i - \frac{3+6i}{5}}{1 - \frac{3+6i}{5}}=\frac{12+4i}{2 - 6i}

      zD−zMzB−zM=(12+4i)(2+6i)(2−6i)(2+6i)=80i40=2i\frac{z_{D} - z_{M}}{z_{B} - z_{M}}=\frac{\left(12+4i\right)\left(2+6i\right)}{\left(2 - 6i\right)\left(2+6i\right)}=\frac{80i}{40}=2i

    2. Un argument du nombre zD−zMzB−zM\frac{z_{D} - z_{M}}{z_{B} - z_{M}} est une mesure de l'angle (MB→;MD→)\left(\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MD}\right); donc :

      (MB→;MD→)=arg(2i)=π2..(2π)\left(\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MD}\right)=\text{arg}\left(2i\right)=\frac{\pi }{2}..\left(2\pi \right)

      Le triangle MBD est rectangle en B donc M appartient au cercle de diamètre [BD], c'est à dire à Γ\Gamma .

    1. N appartient au cercle de diamètre [AB] donc les droites (AN) et (NB) sont perpendiculaires. (DM) et (AN) sont toutes deux perpendiculaires à (NB) donc sont parallèles.

    2. D'après le théorème des milieux dans les triangles BMD et BNA, N est le milieu de [MB] donc

      zN=zM+zB2=45+35iz_{N}=\frac{z_{M}+z_{B}}{2}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i

    1. zM′−zB=e−iπ2(zM−zB)=−i(−25+65i)=65+25iz_{M^{\prime}} - z_{B}=e^{ - i\frac{\pi }{2}}\left(z_{M} - z_{B}\right)= - i\left( - \frac{2}{5}+\frac{6}{5}i\right)=\frac{6}{5}+\frac{2}{5}i

      Donc:

      zM′=115+25iz_{M^{\prime}}=\frac{11}{5}+\frac{2}{5}i

    2. zB−zM′zA−zM′=1−11+2i52+i−11+2i5=−6−2i−1+3i\frac{z_{B} - z_{M^{\prime}}}{z_{A} - z_{M^{\prime}}}=\frac{1 - \frac{11+2i}{5}}{2+i - \frac{11+2i}{5}}=\frac{ - 6 - 2i}{ - 1+3i}

      zB−zM′zA−zM′=(−6−2i)(−1−3i)(−1+3i)(−1−3i)=20i10=2i\frac{z_{B} - z_{M^{\prime}}}{z_{A} - z_{M^{\prime}}}=\frac{\left( - 6 - 2i\right)\left( - 1 - 3i\right)}{\left( - 1+3i\right)\left( - 1 - 3i\right)}=\frac{20i}{10}=2i

      Donc d'après une démonstration analogue à celle du 3.b. M' appartient au cercle de diamètre [AB], c'est à dire à Γ′\Gamma ^{\prime}.

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