Exercice 2

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$.

On nomme (S) la surface d'équation $x^{2}+y^{2} - z^{2}=1$.

1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan $\left(xOy\right)$.

2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; -3) et (-1 ; 1 ; 1).

   1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.

   2. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).

3. Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan $\left(xOy\right)$.

4. 1. On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d'équation $z=68$. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.

   2. M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.

      On se propose de montrer qu'il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient des entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b)=440, c'est-à-dire tel que (a , b) soit solution du système

      (1) : $\left\{ \begin{matrix} a < b \\ a^{2}+b^{2}=4625 \\ \text{ppcm}\left(a , b \right)=440\end{matrix}\right.$

      Montrer que si (a , b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5.

      Conclure.

      Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.