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Produit scalaire dans l'espace - Bac S - Amérique du Nord 2008

Exercice 2

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère deux points AA et DD de l'espace et on désigne par II le milieu du segment [AD]\left[AD\right].

  1. Démontrer que, pour tout point MM de l'espace, MD→.MA→=MI2−IA2\overrightarrow{MD} . \overrightarrow{MA}=MI^{2} - IA^{2}

  2. En déduire l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM de l'espace tels que MD→.MA→=0\overrightarrow{MD} . \overrightarrow{MA}=0

Partie B

Dans l'espace rapporté au repère orthonormal (O;i⃗,j⃗,k⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right), les points A,B,CA, B, C et DD ont pour coordonnées respectives A(3;0;0)A\left(3 ; 0 ; 0\right), B(0;6;0)B\left(0 ; 6 ; 0\right), C(0;0;4)C\left(0 ; 0 ; 4\right) et D(−5;0;1)D\left( - 5 ; 0 ; 1\right).

    1. Vérifier que le vecteur v⃗(423)\vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} est normal au plan (ABC)\left(ABC\right).

    2. Déterminer une équation du plan (ABC)\left(ABC\right).

    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta , orthogonale au plan (ABC)\left(ABC\right) passant par DD.

    2. En déduire les coordonnées du point HH, projeté orthogonal de DD sur le plan (ABC)\left(ABC\right).

    3. Calculer la distance du point DD au plan (ABC)\left(ABC\right).

    4. Démontrer que le point HH appartient à l'ensemble (E)\left(E\right) défini dans la partie A.

Corrigé

pdf Solution rédigée par Paki

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