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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac ES/L Métropole 2014

Exercice 2  (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de 1 500 m2^{2} entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m2^{2} et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel nn, on note unu_{n} la surface en m2^{2} de terrain engazonné au bout de nn années, c'est-à-dire à l'automne 2010+n2010+n. On a donc u0=1500u_{0}=1 500.

  1. Calculer u1u_{1}.

  2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n,un+1=0,8un+50n, u_{n+1}= 0,8 u_{n} + 50.

  3. On considère la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie pour tout nombre entier naturel nn par: vn=un250v_{n}=u_{n} - 250.

    1. Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.

    2. Exprimer vnv_{n} en fonction de nn.

      En déduire que, pour tout nombre entier naturel n,un=250+1250×0,8nn, u_{n}=250 + 1 250\times 0,8^{n}.

    3. Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années

    1. Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel nn telle que :

      250+1250×0,8n<500250+1250\times 0,8^{n} < 500

      Interpréter le résultat obtenu.

    2. Compléter l'algorithme fourni ci-dessous pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente

      Initialisation : uu prend la valeur 1 500
      nn prend la valeur 0
      Traitement : Tant que . . . . . . . faire
      u \quad \quad \quad \quad u prend la valeur . . . . . .
      n \quad \quad \quad \quad n prend la valeur . . . . . .
      Fin Tant que
      Sortie : Afficher nn

  4. Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.

    A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Corrigé

  1. u1=(120100)u0+50=0,8×1500+50=1250u_{1}=\left(1 - \frac{20}{100}\right)u_{0}+50=0,8\times 1500+50=1250

  2. «20% de la surface engazonnée est détruite» \rightarrow on multiplie par le coefficient multiplicateur CM=(120100)=0.8CM = \left(1 - \frac{20}{100}\right)=0.8.

    «Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m2^{2} et la remplace par du gazon»\rightarrow on ajoute 50

    Donc un+1=0,8un+50u_{n+1}=0,8u_{n}+50

    1. vn+1=un+1250v_{n+1} = u_{n+1} - 250 (d'après la définition de la suite vv)

      vn+1=0,8un+50250v_{n+1} = 0,8 u_{n} + 50 - 250 (d'après la définition de la suite uu)

      vn+1=0,8un200v_{n+1} = 0,8 u_{n} - 200

      vn+1=0,8(vn+250)200v_{n+1} = 0,8 \left(v_{n} + 250\right) - 200 (car vn=un250un=vn+250v_{n}=u_{n} - 250 \Rightarrow u_{n}=v_{n}+250)

      vn+1=0,8vnv_{n+1} = 0,8 v_{n}

      La suite (vn)\left(v_{n}\right) est donc une suite géométrique de raison q=0,8q=0,8. Son premier terme est :

      v0=u0250=1250v_{0}=u_{0} - 250=1250

    2. On utilise la formule vn=v0×qnv_{n}=v_{0}\times q^{n} qui donne ici :

      vn=1250×0,8nv_{n}=1250\times 0,8^{n}

      On en déduit que :

      un=vn+250=1250×0,8n+250u_{n}=v_{n}+250=1250\times 0,8^{n}+250

    3. La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est :

      u4=1250×0,84+250=762m2u_{4}=1250\times 0,8^{4}+250=762 \text{m}^{2}

    1. 250+1250×0,8n<5001250×0,8n<500250250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 1250\times 0,8^{n} < 500 - 250

      250+1250×0,8n<5000,8n<2501250250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0,8^{n} < \frac{250}{1250}

      250+1250×0,8n<5000,8n<15250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0,8^{n} < \frac{1}{5}

      250+1250×0,8n<500ln(0,8n)<ln(15)250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow \ln\left(0,8^{n}\right) < \ln\left(\frac{1}{5}\right) (car la fonction ln\ln est strictement croissante sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[)

      250+1250×0,8n<500nln(0,8)<ln(5)250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow n \ln\left(0,8\right) < - \ln\left(5\right)

      250+1250×0,8n<500n>ln(5)ln(0,8)250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow n > - \frac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0,8\right)}

      Il faut penser à changer le sens de l'inégalité car ln(0,8)\ln\left(0,8\right) est négatif !

      Comme ln(5)ln(0,8)7,2 - \frac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0,8\right)} \approx 7,2, la plus petite valeur de nn telle que un<500u_{n} < 500 est 88 .

    2. Initialisation : uu prend la valeur 1 500
      nn prend la valeur 0
      Traitement : Tant que u500\color{red}{u \geqslant 500} faire
      u \quad \quad \quad \quad u prend la valeur 0,8u+50\color{red}{0,8u+50}
      n \quad \quad \quad \quad n prend la valeur n+1\color{red}{n+1}
      Fin Tant que
      Sortie : Afficher nn

    3. L'égalité un=1250×0,8n+250u_{n}=1250\times 0,8^{n}+250 montre que pour tout entier nn, un>250u_{n} > 250 (car 1250×0,8n>01250\times 0,8^{n} > 0)

      La surface de terrain engazonné sera donc toujours supérieure à 250 m2^{2} et Claude a donc raison.