Suites - Bac ES/L Métropole 2014

Exercice 2 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de 1 500 m $^{2}$ entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m $^{2}$ et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel $n$ , on note $u_{n}$ la surface en m $^{2}$ de terrain engazonné au bout de $n$ années, c'est-à-dire à l'automne $2010+n$ . On a donc $u_{0}=1 500$ .

Calculer $u_{1}$ .
Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n, u_{n+1}= 0,8 u_{n} + 50$ .
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par: $v_{n}=u_{n} - 250$ .
1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
  
  En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n, u_{n}=250 + 1 250\times 0,8^{n}$ .
3. Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années

Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que :
$250+1250\times 0,8^{n} < 500$
Interpréter le résultat obtenu.

Compléter l'algorithme fourni ci-dessous pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente

Initialisation :	$u$ prend la valeur 1 500
	$n$ prend la valeur 0
Traitement :	Tant que . . . . . . . faire
	$\quad \quad \quad \quad u$ prend la valeur . . . . . .
	$\quad \quad \quad \quad n$ prend la valeur . . . . . .
	Fin Tant que
Sortie :	Afficher $n$

Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.

A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Corrigé

$u_{1}=\left(1 - \frac{20}{100}\right)u_{0}+50=0,8\times 1500+50=1250$
«20% de la surface engazonnée est détruite» $\rightarrow$ on multiplie par le coefficient multiplicateur $CM = \left(1 - \frac{20}{100}\right)=0.8$ .

«Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m $^{2}$ et la remplace par du gazon» $\rightarrow$ on ajoute 50

Donc $u_{n+1}=0,8u_{n}+50$
1. $v_{n+1} = u_{n+1} - 250$ (d'après la définition de la suite $v$ )
  
  $v_{n+1} = 0,8 u_{n} + 50 - 250$ (d'après la définition de la suite $u$ )
  
  $v_{n+1} = 0,8 u_{n} - 200$
  
  $v_{n+1} = 0,8 \left(v_{n} + 250\right) - 200$ (car $v_{n}=u_{n} - 250 \Rightarrow u_{n}=v_{n}+250$ )
  
  $v_{n+1} = 0,8 v_{n}$
  
  La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,8$ . Son premier terme est :
  
  $v_{0}=u_{0} - 250=1250$
2. On utilise la formule $v_{n}=v_{0}\times q^{n}$ qui donne ici :
  
  $v_{n}=1250\times 0,8^{n}$
  
  On en déduit que :
  
  $u_{n}=v_{n}+250=1250\times 0,8^{n}+250$
3. La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est :
  
  $u_{4}=1250\times 0,8^{4}+250=762 \text{m}^{2}$

$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 1250\times 0,8^{n} < 500 - 250$

$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0,8^{n} < \frac{250}{1250}$

$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0,8^{n} < \frac{1}{5}$

$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow \ln\left(0,8^{n}\right) < \ln\left(\frac{1}{5}\right)$ (car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$ )

$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow n \ln\left(0,8\right) < - \ln\left(5\right)$

$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow n > - \frac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0,8\right)}$

Il faut penser à changer le sens de l'inégalité car $\ln\left(0,8\right)$ est négatif !

Comme $- \frac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0,8\right)} \approx 7,2$ , la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} < 500$ est $8$ .

Initialisation :	$u$ prend la valeur 1 500
	$n$ prend la valeur 0
Traitement :	Tant que $\color{red}{u \geqslant 500}$ faire
	$\quad \quad \quad \quad u$ prend la valeur $\color{red}{0,8u+50}$
	$\quad \quad \quad \quad n$ prend la valeur $\color{red}{n+1}$
	Fin Tant que
Sortie :	Afficher $n$

L'égalité $u_{n}=1250\times 0,8^{n}+250$ montre que pour tout entier $n$ , $u_{n} > 250$ (car $1250\times 0,8^{n} > 0$ )

La surface de terrain engazonné sera donc toujours supérieure à 250 m $^{2}$ et Claude a donc raison.

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