Partie A

1. Le point $M$ est le point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$ d'équations $y=0,9x+2$ et $y=x$.

   Son abscisse $x_M$ est donc solution de l'équation $0,9x_M+2 = x_M$.

   $0,9x_M+2 = x_M\ \Leftrightarrow \ 2=x_M - 0,9x_M$

   $\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ 2=0,1x_M$

   $\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ \dfrac{2}{0,1}=x_M$

   $\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ x_M=20$.

   Comme le point $M$ est situé sur la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ son ordonnée est $y_M=x_M=20$.

   Les coordonnées de $M$ sont donc $(20~;~20)$.

2. Le point $A_0$ est situé sur la droite $D$ d'équation $y=0,9x+2$.

   Son abscisse est $u_0$ ; son ordonnée est donc :

   $y_{A_0}=0,9u_0+2$

   Or, d'après la définition de la suite $(u_n)$ : $u_1=0,9u_0+2$ ; par conséquent $y_{A_0}=u_1$.

   L'ordonnée de $A_0$ est donc $u_1$.

3. La droite $(A_0B_1)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc l'ordonnée de $B_1$ est égale à l'ordonnée de $A_0$ c'est à dire $u_1$.

   Comme le point $B_1$ appartient à la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ :

   $y_{B_1}=x_{B_1}=u_1$

   Les coordonnées du point $B$ sont $(u_1~;~u_1)$.

   On réitère la procédure de la manière suivante :

   • on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point $B_1$ ; cette droite coupe $D$ en un point $A_1(u_1~;~u_2)$

   • on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point $A_1$ ; cette droite coupe $D$ en un point $B_2(u_2~;~u_2)$

   et ainsi de suite...

   On obtient ainsi le graphique ci-après :

   

   {\footnotesize (Les ordonnées des points n'ont pas été indiquées pour ne pas surcharger la figure)}

4. On conjecture que lorsque $n$ augmente, les points $A_n$ et $B_n$ se rapprochent du point $M$ et donc que :

   $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n =20.$

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$ :

   $v_{n+1}=u_{n+1} - 20$

   $\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n+2 - 20$

   $\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n - 18$.

   Or $v_n=u_n - 20$ donc $u_n=v_n+20$ ; alors :

   $v_{n+1}=0,9(v_n+20) - 18$

   $\phantom{v_{n+1}}=0,9v_n+18 - 18$

   $\phantom{v_{n+1}}=0,9v_n$.

   De plus ${v_0=u_0 - 20=2 - 20= - 18}$ ; par conséquent, la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme ${v_0= - 18}$ et de raison ${q=0,9}$.

2. On en déduit que :

   $v_n=v_0q^n= - 18 \times 0,9^n$.

3. En utilisant la question précédente et la relation $u_n=v_n+20$ on obtient, pour tout entier naturel $n$ :

   $u_n=v_n+20=20 - 18 \times 0,9^n$.

4. ${0 \leqslant 0,9 < 1}\$ donc $\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,9^n = 0$.

   Alors :

   $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}18 \times 0,9^n = 0\$ et $\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}20 - 18 \times 0,9^n = 20$.

   La suite $(u_n)$ converge vers 20.

   À retenir

   Soit $q$ un nombre réel positif ou nul.

   • Si \bm{0 \leqslant q < 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{0}.

   • Si \bm{q > 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{+\infty}.

   (Remarque : si $q=1$ alors $q^n=1$ pour tout entier naturel $n$, donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=1)$.