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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac ES/L Polynésie 2014

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie pour tout nombre entier naturel nn par :

{u0=5un+1=12un+1\left\{ \begin{matrix} u_{0} = 5 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_{n}+1\end{matrix}\right.

Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel nn non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang nn.

    Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.

    Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.

    Variables UU est un nombre réel
    ii et NN sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour NN
    UU prend la valeur 5
    Pour ii de 00 à NN faire
    \quad \quad \quad Affecter à UU la valeur 12×U+1\frac{1}{2}\times U+1
    Fin Pour
    Afficher UU
    Fin

    Algorithme 1

    Variables UU est un nombre réel
    ii et NN sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour NN
    Pour ii de 00 à NN faire
    U \quad \quad \quad U prend la valeur 5
    \quad \quad \quad Afficher UU
    \quad \quad \quad Affecter à UU la valeur 12×U+1\frac{1}{2}\times U+1
    Fin Pour
    Fin

    Algorithme 2

    Variables UU est un nombre réel
    ii et NN sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour NN
    UU prend la valeur 5
    Pour ii de 00 à NN faire
    \quad \quad \quad Afficher UU
    \quad \quad \quad Affecter à UU la valeur 12×U+1\frac{1}{2}\times U+1
    Fin Pour
    Fin

    Algorithme 3

  2. On saisit la valeur 9 pour NN, l'affichage est le suivant :

    5 3,5 2,75 2,375 2,185 2,0938 2,0469 2,0234 2,0117 2,0059
    Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?

Partie B

On introduit une suite auxiliaire (vn)\left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel nn, par vn=un2v_{n}=u_{n} - 2.

  1. Montrer que (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique. Préciser sa raison qq et son premier terme v0v_{0}.

  2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel nn, on a un=2+3(12)nu_{n}=2+3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

  3. Étudier les variations de la suite (un)\left(u_{n}\right).

  4. Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

  5. À partir de quel rang a-t-on : un2106u_{n} - 2 \leqslant 10^{ - 6}