Suites - Bac ES/L Polynésie 2014

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :

$\left\{ \begin{matrix} u_{0} = 5 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_{n}+1\end{matrix}\right.$

On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang $n$ .

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.

Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.

Variables	$U$ est un nombre réel
	$i$ et $N$ sont des nombres entiers
Début	Saisir une valeur pour $N$
	$U$ prend la valeur 5
	Pour $i$ de $0$ à $N$ faire
	$\quad \quad \quad$ Affecter à $U$ la valeur $\frac{1}{2}\times U+1$
	Fin Pour
	Afficher $U$
Fin

Algorithme 1

Variables	$U$ est un nombre réel
	$i$ et $N$ sont des nombres entiers
Début	Saisir une valeur pour $N$
	Pour $i$ de $0$ à $N$ faire
	$\quad \quad \quad U$ prend la valeur 5
	$\quad \quad \quad$ Afficher $U$
	$\quad \quad \quad$ Affecter à $U$ la valeur $\frac{1}{2}\times U+1$
	Fin Pour
Fin

Algorithme 2

Variables	$U$ est un nombre réel
	$i$ et $N$ sont des nombres entiers
Début	Saisir une valeur pour $N$
	$U$ prend la valeur 5
	Pour $i$ de $0$ à $N$ faire
	$\quad \quad \quad$ Afficher $U$
	$\quad \quad \quad$ Affecter à $U$ la valeur $\frac{1}{2}\times U+1$
	Fin Pour
Fin

Algorithme 3

On saisit la valeur 9 pour $N$ , l'affichage est le suivant :
5 3,5 2,75 2,375 2,185 2,0938 2,0469 2,0234 2,0117 2,0059

Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?

On introduit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_{n}=u_{n} - 2$ .

Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison $q$ et son premier terme $v_{0}$ .
Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ , on a $u_{n}=2+3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ .
Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
À partir de quel rang a-t-on : $u_{n} - 2 \leqslant 10^{ - 6}$