Suites arithmético-géométrique - Bac ES/L Liban 2013

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=10$ et pour tout entier naturel $n,$

$u_{n+1}=0,9u_{n}+1,2$

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n} - 12$ .
1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
3. En déduire que pour tout entier naturel $n : u_{n}=12 - 2\times 0,9^{n}$ .
Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année $2012+n$ .
Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année $2012+n$ .
VARIABLES $a, i, n$ INITIALISATION Choisir $n$ $a$ prend la valeur TRAITEMENT Pour $i$ allant de $1$ à $n$ $a$ prend la valeur .... SORTIE Afficher $a$
1. Résoudre l'inéquation $12 - 2\times 0,9^{n} > 11,5$ .
2. En donner une interprétation.