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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac ES/L Métropole 2015

Exercice 2 - 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite (un)\left(u_n\right) définie pour tout entier naturel nn non nul, par :

un=2000×1,008n−1u_n = 2000 \times 1,008^{n - 1}

où unu_n représente le coût en euros du forage de la nn-ième dizaine de mètres.

On a ainsi u1=2000u_1 = 2000 et u2=2016u_2 = 2016, c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2016 euros.

Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.

  1. Calculer u3u_3 puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.

  2. Pour tout entier naturel nn non nul :

    1. Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_n et préciser la nature de la suite (un)\left(u_n\right).

    2. En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la (n+1)(n+1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la nn-ième dizaine de mètres.

  3. On considère l'algorithme ci-dessous :

    INITIALISATION uu prend la valeur 2000 SS prend la valeur 2000 TRAITEMENT Saisir nn Pour ii allant de 2 à nn uu prend la valeur u×1,008u \times 1,008 SS prend la valeur S+uS+u Fin Pour SORTIE Afficher SS

    La valeur de nn saisie est 5.

    1. Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de nn.

      Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire).

      Valeur de ii 2 ... ...
      Valeur de uu 2000 ... ... ...
      Valeur de SS 2000 ... ... ...

    2. Quelle est la valeur de SS affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.

  4. On note Sn=u1+u2+⋯+unS_n = u_1+u_2+\cdots +u_n la somme des nn premiers termes de la suite (un)\left(u_n\right), nn étant un entier naturel non nul. On admet que :

    Sn=−250000+250000×1,008nS_n = - 250000+250000 \times 1,008^n.

    Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros, On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.

    1. Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation ...).

    2. Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au problème posé.

Corrigé

  1. u3=2000×1,0082≈2032,13u_3=2000 \times 1,008^2 \approx 2 032,13

    Le coût total de forage des 30 premiers mètres est donc :

    u1+u2+u3≈2000+2016+2032,13≈6048,13u_1+u_2+u_3 \approx 2000+2016+2 032,13 \approx 6 048,13

    1. Chaque terme de la suite (un)(u_n) s'obtient en multipliant le terme précédent par 1,0081,008, donc pour tout entier nn :

      un+1=1,008×unu_{n+1}=1,008 \times u_n

      La suite (un)(u_n) est une suite géométrique de premier terme u1=2000u_1 = 2 000 et de raison q=1,008q = 1, 008.

    2. Si tt représente le taux, en pour-cents, correspondant au coefficient multiplicateur 1,0081,008 :

      1+t100=1,0081+\frac{t}{100}=1,008

      t100=0,008\frac{t}{100}=0,008

      t=0,8t=0,8

      Le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la (n+1)(n+1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la nn-ième dizaine de mètres est de 0,80,8%

    1. Valeur de ii 2 3 4 5
      Valeur de uu 2000 2016 2032,13 2048,39 2064,77
      Valeur de SS 2000 4016 6048,13 8096.51 10161,29

    2. La valeur affichée en sortie est 10161,2910161,29. Cette valeur correspond au coût total, en euros, de forage des 50 premiers mètres.

    1. On recherche la plus grande valeur de nn telle que Sn<125000S_n < 125000 :

      Sn<125000⇔−250000+250000×1,008n<125000S_n < 125000 \Leftrightarrow - 250000+250000 \times 1,008^n < 125000

      Sn<125000⇔250000×1,008n<125000+250000\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow 250000 \times 1,008^n < 125000+250000

      Sn<125000⇔1,008n<375000250000\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow 1,008^n < \frac{375000}{250000}

      Sn<125000⇔1,008n<1,5\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow 1,008^n < 1,5

      En appliquant à chaque membre la fonction ln\ln qui est définie et strictement croissante sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[ :

      Sn<125000⇔ln(1,008n)<ln1,5\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow \ln(1,008^n) < \ln 1,5

      Sn<125000⇔nln(1,008)<ln1,5\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow n \ln(1,008) < \ln 1,5

      Comme ln(1,008) \ln(1,008) est strictement positif :

      Sn<125000⇔n<ln1,5ln(1,008)≈50,9\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow n < \frac{\ln 1,5}{\ln(1,008)} \approx 50,9

      La plus grande valeur possible pour nn est donc n=50n=50.

      La profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget est donc 50 dizaines de mètres (ou 500 mètres).

    2. INITIALISATION uu prend la valeur 2000 SS prend la valeur 2000 ii prend la valeur 1 TRAITEMENT Tant queS<125000S < 125000 uu prend la valeur u×1,008u \times 1,008 SS prend la valeur S+uS+u ii prend la valeur i+1i+1 Fin Tant que SORTIE Afficher i−1i - 1

      Remarques : A la sortie de la boucle ii représente la valeur de l'indice pour laquelle le coût dépasse 125000 euros. Comme on souhaite une valeur de ii pour lequel ce coût reste inférieur, il faut afficher la valeur précédente, c'est à dire i−1i - 1.

      Le résultat de l'algorithme est donné en dizaines de mètres. Il faut multiplier ce résultat par 10 si on veut le convertir en mètres (non précisé dans l'énoncé).

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