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Suites et algorithmes - Bac ES/L Centres étrangers 2014

Exercice 3   (5 points)

Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée 500 élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l'effectif et l'arrivée de 300300 nouveaux élèves.

On modélise cette situation par une suite numérique (un)\left(u_{n}\right) où unu_{n} représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année 2013+n2013+n, avec nn entier naturel. On a donc u0=500u_{0}=500.

    1. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014.

    2. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015

  2. Justifier que, pour tout entier naturel nn, on a : un+1=0,7un+300u_{n+1}=0,7u_{n}+300.

  3. On souhaite, pour un entier nn donné, afficher tous les termes de la suite (un)\left(u_{n}\right) du rang 00 au rang nn.

    Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ? Justifier.

    Variables n,in, i entiers naturels,
    uu nombre réel
    Début algorithme Lire nn
    uu prend la valeur 500500
    Pour ii allant de 1 à nn
    \quad \quad \quad Afficher uu
    u \quad \quad \quad u prend la valeur 0,7×u+3000,7\times u+300
    Fin Pour
    Algorithme 1

    Variables n,in, i entiers naturels,
    uu nombre réel
    Début algorithme Lire nn
    uu prend la valeur 500500
    Pour ii allant de 1 à nn
    \quad \quad \quad Afficher uu
    u \quad \quad \quad u prend la valeur 0,7×u+3000,7\times u+300
    Fin Pour
    Afficher uu
    Algorithme 2

    Variables n,in, i entiers naturels,
    uu nombre réel
    Début algorithme Lire nn
    uu prend la valeur 500500
    Pour ii allant de 1 à nn
    u \quad \quad \quad u prend la valeur 0,7×u+3000,7\times u+300
    \quad \quad \quad Afficher uu
    Fin Pour
    Algorithme 3

  4. On considère la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel nn par : vn=un−1000v_{n}=u_{n} - 1000.

    1. Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison q=0,7q=0,7.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel n,:un=1000−500×0,7nn,: u_{n}=1000 - 500 \times 0,7^{n}.

    3. Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

    4. Interpréter le résultat précédent

    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation un⩾990u_{n} \geqslant 990.

    2. Interpréter le résultat trouvé précédemment.

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