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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Bac ES/L Métropole 2014

Exercice 4   (5 points)

Commun à tous les candidats

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 1515 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.

On obtient la courbe fournie ci-dessous:

concentration d'un médicament

A. Étude graphique

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

  1. la concentration à l'instant initial;

  2. l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,40,4 gramme par litre. On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.

B. Étude théorique :

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction ff définie sur l'intervalle [0 ; 15] par :

f(x)=(x+2)e−0,5x,f\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{ - 0,5x},

où xx représente le nombre d'heures écoulées depuis l'instant initial et f(x)f\left(x\right) la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.

  1. On note f′f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff. Justifier que f′(x)=−0,5xe−0,5xf^{\prime}\left(x\right) = - 0,5xe^{ - 0,5x} et en déduire le tableau de variation de la fonction ff sur [0;15]\left[0 ; 15\right].

  2. Justifier que l'équation f(x)=0,1f\left(x\right)=0,1 admet une unique solution aa sur l'intervalle [0;15]\left[0; 15\right].

  3. Déterminer un encadrement de aa d'amplitude un dixième.

  4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous.

    1. derivez ((x+2)×exp(−0.5×x))\left(\left(x+2\right) \times \exp\left( - 0.5 \times x\right)\right)
    exp(−0.5x)−0.5×exp(−0.5x)×(x+2) \qquad \qquad \exp\left( - 0.5x\right) - 0.5\times \exp\left( - 0.5x\right)\times \left(x+2\right)
    2. derivez (exp(−0.5×x)−0.5×exp(−0.5×x)×(x+2))\left(\exp\left( - 0.5\times x\right) - 0.5\times \exp\left( - 0.5\times x\right) \times \left(x+2\right)\right)
    −exp(−0.5×x)+0.25×exp(−0.5×x)×(x+2) \qquad \qquad - \exp\left( - 0.5 \times x\right)+0.25 \times \exp\left( - 0.5\times x\right) \times \left(x+2\right)
    3. factorisez (−exp(−0.5×x)+0.25×exp(−0.5×x)×(x+2))\left( - \exp \left( - 0.5\times x\right)+0.25\times \exp\left( - 0.5\times x\right)\times \left(x+2\right) \right)
    (0.25×x−0.5)×exp(−0.5×x) \qquad \qquad \left(0.25\times x - 0.5\right)\times \exp\left( - 0.5\times x\right)

    En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction ff sur l'intervalle [0;15]\left[0 ; 15\right] et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion.

C. Interprétation des résultats :

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.

  1. On estime que le médicament n'est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,10,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ?

  2. Au bout de combien d'heures la baisse de concentration ralentit-elle ?

Corrigé

A. Étude graphique

  1. Par lecture graphique, la concentration à l'instant initial est 2 grammes par litre.

  2. Par lecture graphique, l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,40,4 gramme par litre est [0;6]\left[0;6\right].

B. Étude théorique :

  1. On pose u(x)=x+2u\left(x\right)=x+2 et v(x)=e−0,5x,v\left(x\right)=e^{ - 0,5x},

    On a u′(x)=1u^{\prime}\left(x\right)=1 , v′(x)=−0,5e−0,5xv^{\prime}\left(x\right)= - 0,5e^{ - 0,5x} et :

    f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=e−0,5x+(x+2)×(−0,5e−0,5x)f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=e^{ - 0,5x}+\left(x+2\right)\times \left( - 0,5e^{ - 0,5x}\right)

    f′(x)=e−0,5x−0,5xe−0,5x−e−0,5xf^{\prime}\left(x\right)=e^{ - 0,5x} - 0,5xe^{ - 0,5x} - e^{ - 0,5x}

    f′(x)≡−0,5xe−0,5xf^{\prime}\left(x\right)\equiv - 0,5xe^{ - 0,5x}

    Sur l'intervalle [0;15]\left[0 ; 15\right], −0,5x - 0,5x est négatif et e−0,5xe^{ - 0,5x} est positif donc f′(x)f^{\prime}\left(x\right) est négative.

    On obtient le tableau de variation ci-dessous :

    Exercice

    avec f(15)≈0,01f\left(15\right)\approx 0,01

  2. La fonction ff est continue et strictement décroissante sur [0;15]\left[0; 15\right].

    0,10,1 est compris entre f(15)≈0,01f\left(15\right)\approx 0,01 et f(0)=2f\left(0\right)=2.

    Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0,1f\left(x\right)=0,1 admet une unique solution sur l'intervalle [0;15]\left[0; 15\right].

  3. A la calculatrice on trouve : f(9,4)≈0,104f\left(9,4\right)\approx 0,104 et f(9,5)≈0,099f\left(9,5\right)\approx 0,099 donc 9,4<α<9,59,4 < \alpha < 9,5

  4. Le logiciel de calcul formel montre que :

    f′′(x)=(0,25x−0,5)e−0,5xf^{\prime\prime}\left(x\right) = \left(0,25x - 0,5\right) e^{ - 0,5x}

    Comme e−0,5xe^{ - 0,5x} est strictement positif f′′(x)f^{\prime\prime}\left(x\right) est du signe de 0,25x−0,50,25x - 0,5.

    ♦   Sur l'intervalle [0;2]\left[0; 2\right], f′′f^{\prime\prime} est négative ou nulle donc la fonction est concave.

    ♦   Sur l'intervalle [2;15]\left[2; 15\right], f′′f^{\prime\prime} est positive ou nulle donc la fonction est convexe.

    f′′f^{\prime\prime} s'annule et change de signe pour x=2x=2 donc le point de la courbe d'abscisse 22 est un point d'inflexion.

C. Interprétation des résultats :

  1. D'après la question B.2., le médicament est actif pendant α\alpha heures, c'est à dire environ neuf heures et demi.

  2. D'après la question B.4., la baisse de concentration ralentit au bout de deux heures

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