Fonctions - Bac ES/L Métropole 2014
Exercice 4 (5 points)
Commun à tous les candidats
On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.
On obtient la courbe fournie ci-dessous:
A. Étude graphique
Avec la précision permise par le graphique, indiquer :
la concentration à l'instant initial;
l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à gramme par litre. On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.
B. Étude théorique :
On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 15] par :
où représente le nombre d'heures écoulées depuis l'instant initial et la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.
On note la fonction dérivée de la fonction . Justifier que et en déduire le tableau de variation de la fonction sur .
Justifier que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
Déterminer un encadrement de d'amplitude un dixième.
Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous.
1. derivez 2. derivez 3. factorisez En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction sur l'intervalle et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion.
C. Interprétation des résultats :
En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.
On estime que le médicament n'est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ?
Au bout de combien d'heures la baisse de concentration ralentit-elle ?
Corrigé
A. Étude graphique
Par lecture graphique, la concentration à l'instant initial est 2 grammes par litre.
Par lecture graphique, l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à gramme par litre est .
B. Étude théorique :
On pose et
On a , et :
Sur l'intervalle , est négatif et est positif donc est négative.
On obtient le tableau de variation ci-dessous :
avec
La fonction est continue et strictement décroissante sur .
est compris entre et .
Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
A la calculatrice on trouve : et donc
Le logiciel de calcul formel montre que :
Comme est strictement positif est du signe de .
♦ Sur l'intervalle , est négative ou nulle donc la fonction est concave.
♦ Sur l'intervalle , est positive ou nulle donc la fonction est convexe.
s'annule et change de signe pour donc le point de la courbe d'abscisse est un point d'inflexion.
C. Interprétation des résultats :
D'après la question B.2., le médicament est actif pendant heures, c'est à dire environ neuf heures et demi.
D'après la question B.4., la baisse de concentration ralentit au bout de deux heures