Suites - Bac ES/L Pondichéry 2013

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note $C_{n}$ le capital du client au 1er janvier de l'année $2000+n$ , où $n$ est un entier naturel.

Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$ . Arrondir les résultats au centime d'euro.
Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}$ . En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$ , on a la relation :

$C_{n}=3000 \times 1,025^{n}.$

On donne l'algorithme suivant :

Entrée	Saisir un nombre $S$ supérieur à 3000
Traitement	Affecter à $n$ la valeur $0$ .
	Affecter à $U$ la valeur 3000
	Tant que $U\leqslant S$
	$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
	$\qquad$ $U$ prend la valeur $U \times 1,025$
	Fin tant que
Sortie	Afficher le nombre $2000+n$

Pour la valeur $S=3300$ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.
Valeur de $n$ $0$ $1$ . . . . . .

Valeur de $U$ 3000 . . . . . . . . .

Condition $U\leqslant S$ vrai . . . . . . . . .
En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $S$ saisie est 3300.
Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $S$ supérieur à 3000.

Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.

Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

$C_{1}=\left(1+\frac{t}{100}\right)\times C_{0}=1,025\times 3000=3075$

$C_{2}=1,025\times C_{1}=1,025\times 3075=3151,88$ à $0,01$ près.
Pour tout entier naturel $n$ :

$C_{n+1}=1,025\times C_{n}$

La suite $\left(C_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $C_{0}=3000$ et de raison $q=1,025$ .

$C_{n}=C_{0}\times q^{n}=3000\times 1,025^{n}$
1. Valeur de $n$ 0 1 2 3 4
  
  Valeur de $U$ 3000 3075 3151,88 3230,67 3311,44
  
  Condition $U\leqslant S$ vrai vrai vrai vrai faux
2. La boucle s'arrête pour $n=4$ et le programme se termine après avoir affiché la valeur 2004.
3. L'algorithme affiche l'année à partir de laquelle le capital sera strictement supérieur à $S$ .
Le capital au 1er janvier 2013, correspond à $C_{13}$ .

$C_{13}=3000\times 1,025^{13}\approx 4135,53$ .

Ce capital est donc inférieur à 5000 euros.

Le capital initial est multiplié par 10 dès que $1,025^{n}\geqslant 10$ .

La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$ , cette équation équivaut à

$\ln\left(1,025^{n}\right)\geqslant \ln\left(10\right)$

$n\times \ln\left(1,025\right)\geqslant \ln\left(10\right)$

$n\geqslant \frac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1,025\right)}$ car $\ln\left(1,025\right) > 0$

Comme $\frac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1,025\right)}\approx 93,25$ le capital sera multiplié par 10 à compter du 1er janvier 2094.