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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités - Bac ES/L Métropole 2014

Exercice 3   (5 points)

Commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire XX qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [20;60]\left[20 ; 60\right].

  1. Calculer la probabilité pp pour que l'entrainement dure plus de 3030 minutes.

  2. Calculer l'espérance de XX. Interpréter ce résultat

Partie B

Dans cette partie les probabilités seront; si besoin, arrondies au millième. Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56,7556,75 mm et 57,2557,25 mm ; sinon elles sont dites de second choix.

On note DD la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe son diamètre, en millimètres.

On suppose que DD suit la loi normale d'espérance 5757 et d'écart-type 0,110,11.

  1. Déterminer la probabilité p1p_{1} que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm.

  2. Déterminer la probabilité p2p_{2} que la boule prélevée soit une boule de premier choix.

  3. En déduire la probabilité p3p_{3} que la boule prélevée soit une boule de second choix.

Partie C

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14 000 licenciés quant à l'organisation des tournois.

Antoine estime que les 8080 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 8080 adhérents ont répondu, et 6666 ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.

  1. Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée ff de personnes satisfaites de la FFB ?

  2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,950,95 de la proportion pp de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième.

Corrigé

Partie A

  1. La probabilité cherchée est :

    p=p(30⩽X⩽60)=60−3060−20=3040=34p=p\left(30\leqslant X\leqslant 60\right)=\frac{60 - 30}{60 - 20}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}

  2. Pour une loi uniforme sur l'intervalle [a;b]\left[a;b\right] l'espérance mathématique est E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}

    Ici on obtient :

    E(X)=20+602=40E\left(X\right)=\frac{20+60}{2}=40

    Antoine s'entrainera en moyenne pendant 40 minutes.

Partie B

  1. Comme 57 correspond à l'espérance de la loi normale suivie par DD

    p1=p(D<57)=12p_{1}= p\left(D < 57\right) = \frac{1}{2}

  2. A la calculatrice :

    p2=p(56,75<D<57,25)≈0,977p_{2}= p\left(56,75 < D < 57,25\right) \approx 0,977 (au millième près)

  3. Il s'agit de l'évènement contraire du précédent :

    p3=1−p2≈0,023p_{3}= 1 - p2 \approx 0,023 (au millième près)

Partie C

  1. La fréquence observée de personnes satisfaites de la FFB est

    f=6680=0,825f=\frac{66}{80}=0,825

  2. Un intervalle de confiance (au niveau de confiance 0,95) de la proportion pp de licenciés satisfaits est :

    I=[f−1n;f+1n]I=\left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}} \right]

    avec nn= taille de l'échantillon = 80.

    Cela donne au millième près :

    I=[0,713;0,937]I=\left[0,713 ; 0,937\right]

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