Probabilités - Bac ES/L Métropole 2014
Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle .
Calculer la probabilité pour que l'entrainement dure plus de minutes.
Calculer l'espérance de . Interpréter ce résultat
Partie B
Dans cette partie les probabilités seront; si besoin, arrondies au millième. Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre mm et mm ; sinon elles sont dites de second choix.
On note la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe son diamètre, en millimètres.
On suppose que suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
Déterminer la probabilité que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm.
Déterminer la probabilité que la boule prélevée soit une boule de premier choix.
En déduire la probabilité que la boule prélevée soit une boule de second choix.
Partie C
Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14 000 licenciés quant à l'organisation des tournois.
Antoine estime que les adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les adhérents ont répondu, et ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.
Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée de personnes satisfaites de la FFB ?
Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de la proportion de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième.
Corrigé
Partie A
La probabilité cherchée est :
Pour une loi uniforme sur l'intervalle l'espérance mathématique est
Ici on obtient :
Antoine s'entrainera en moyenne pendant 40 minutes.
Partie B
Comme 57 correspond à l'espérance de la loi normale suivie par
A la calculatrice :
(au millième près)
Il s'agit de l'évènement contraire du précédent :
(au millième près)
Partie C
La fréquence observée de personnes satisfaites de la FFB est
Un intervalle de confiance (au niveau de confiance 0,95) de la proportion de licenciés satisfaits est :
avec = taille de l'échantillon = 80.
Cela donne au millième près :