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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac ES/L Amérique du Nord 2014

Exercice 4   (5 points)

Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L

Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée uuunu_{n} désigne le nombre d'arbres au cours de l'année (2013+n) .

En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.

    1. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.

    2. Montrer que la suite uu est définie par u0=50000u_{0}=50 000 et pour tout entier naturel nn par la relation :

      un+1=0,95un+3000.u_{n+1}=0,95u_{n}+ 3 000.

  1. On considère la suite vv définie pour tout entier naturel nn par vn=60000unv_{n} =60 000 - u_{n}.

    1. Montrer que la suite vv est une suite géométrique de raison 0,950,95.

      Déterminer son premier terme.

    2. Exprimer vnv_{n} en fonction de nn.

    3. En déduire que pour tout entier naturel nn, un=10000(60,95n)u_{n}=10 000\left(6 - 0,95^{n}\right).

    4. Déterminer la limite de la suite uu.

    5. Interpréter le résultat précédent.

    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation un57000u_{n} \geqslant 57 000

    2. Interpréter ce résultat.

    1. On souhaite écrire un algorithme affichant pur un entier naturel nn donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang nn. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.

      Variables : AA, UU, NN sont des nombres
      Début de l'algorithme : Saisir la valeur de AA
      NN prend la valeur 00
      UU prend la valeur 5000050 000
      Tant que U<AU < A
      N \quad \quad \quad N prend la valeur N+1N+1
      U \quad \quad \quad U prend la valeur 0,95U+30000,95 U+3 000
      Fin tant que
      Afficher NN

      Algorithme 1

      Variables : UU, II, NN sont des nombres
      Début de l'algorithme : Saisir la valeur de NN
      UU prend la valeur 5000050 000
      Pour II variant de 1 à NN
      U \quad \quad \quad U prend la valeur 0,95U+30000,95 U+3 000
      Fin Pour
      Afficher UU

      Algorithme 2

      Variables : UU, II, NN sont des nombres
      Début de l'algorithme : Saisir la valeur de NN
      UU prend la valeur 5000050 000
      Pour II variant de 1 à NN
      \quad \quad \quad Afficher UU
      U \quad \quad \quad U prend la valeur 0,95U+30000,95 U+3 000
      Fin Pour
      Afficher UU

      Algorithme 3

    2. Lorsque A=57000A=57 000 l'algorithme 1 affiche 24. interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.