Pour tout entier naturel $n$, la somme ${a_n+b_n}$ représente le nombre total d'abonnés (en milliers) chez ce fournisseur d'accès internet.

D'après l'énoncé ce nombre est stable et correspond à 2 millions, soit 2 000 milliers d'abonnés.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ :

$a_{n+1}$ représente le nombre d'abonnés, en milliers, à la formule « Start » l'année $2010+n+1$.

Ce nombre comporte :

• les abonnés à la formule « Start » de l'année précédente qui se réinscrivent à cette même formule, c'est à dire 70% de $a_n$ soit $0,7a_n$ ;

• les abonnés à la formule « Plus » de l'année précédente qui décident de migrer vers la formule « Start », c'est à dire 10% de $b_n$ soit $0,1b_n$ ;

Au total, on obtient :

D'après la question 1., $a_n+b_n = 2~000$ donc $b_n = 2~000 - a_n$.

Comme $a_{n+1} =0,7a_n+0,1b_n$, alors :

$a_{n+1} =0,7a_n+0,1(2~000 - a_n)$
$\phantom{a_{n+1}} =0,7a_n+200 - 0,1a_n$
$\phantom{a_{n+1}} =0,6a_n+200.$

1. Pour tout entier naturel $n$ :

   $u_{n+1}=a_{n+1} - 500$

   $\phantom{u_{n+1}}=0,6a_n+200 - 500$

   $\phantom{u_{n+1}}=0,6a_n - 300$.

   Or $u_n=a_n - 500$ donc $a_n=u_n+500$ ; alors :

   $u_{n+1}=0,6(u_n+500) - 300$

   $\phantom{u_{n+1}}=0,6u_n+500 - 500$

   $\phantom{u_{n+1}}=0,6u_n$.

   De plus, comme ${u_0=a_0 - 500=1~500 - 500=1~000}$, la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme ${u_0=1~000}$ et de raison ${q=0,6}$.

2. Par conséquent :

   $u_n=u_0q^n=1~000 \times 0,6^n$.

3. En utilisant la question précédente et la relation ${a_n=u_n+500}$, on en déduit que pour tout entier naturel $n$ :

   $a_n=u_n+500=500+1~000 \times 0,6^n$.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ :

$a_{n+1} - a_n=500+1000 \times 0,6^{n+1} - \left[500+1000 \times 0,6^n\right]$

$\phantom{a_{n+1} - a_n}=500+1000 \times 0,6^{n+1} - 500 - 1000 \times 0,6^n$

$\phantom{a_{n+1} - a_n}=1000 \times 0,6^{n+1} - 1000 \times 0,6^n$.

Or $0,6^{n+1}=0,6^n \times 0,6$, donc :

$a_{n+1} - a_n=1000 \times 0,6^n \times 0,6 - 1000 \times 0,6^n$

$\phantom{a_{n+1} - a_n}=1000 \times 0,6^{n}[0,6 - 1)$

$\phantom{a_{n+1} - a_n}= - 0,4 \times 1000 \times 0,6^{n}$.

$a_{n+1} - a_n$ est strictement négatif pour tout entier naturel $n$, donc la suite $(a_n)$ est strictement décroissante.

Comme $0 < 0,6 < 1$, ${\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,6^n=0}$ et ${\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}1000 \times 0,6^n=0}$. Par conséquent :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}500+1000 \times 0,6^n =500.$

On en déduit que le nombre d'abonnés à la formule « Start » va décroître et se rapprocher de \bm{500~000}.

1. Solution n°1

   On sait que pour tout entier naturel $n$ : $a_{n+1}=0,6a_n+200$.

   En particulier $a_1=0,6a_0+200$.

   $a_0$ est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule C2 :

   =0,6*B2+200

   Solution n°2

   On sait que pour tout entier naturel $n$ : $a_{n}=500+1000 \times 0,6^n$.

   En particulier $a_1=500+1000 \times 0,6^1$.

   Les indices sont situés sur la ligne n°1 ; l'indice 1 est situé dans la cellule C1. On peut donc saisir dans la cellule C2 :

   =500+1000*PUISSANCE(0,6 ; C1)

2. Pour tout entier naturel $n$, $b_n=2~000 - a_n$.
   En particulier : ${b_0=2~000 - a_0}$.

   $a_0$ est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule B3 :

   =2000-B2

   Remarque : D'autres solutions sont également possibles.

   À retenir

   Dans un tableur, une formule mathématique doit débuter par le signe = pour être exécutée.