Exercice 2   (5 points)

Candidats ayant choisi la spécialité Alice participe à une compétition de tir à l'arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches.

Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $0,9$.

Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $0,4$.

On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note :

• $a_{n}$ la probabilité qu'Alice atteigne la cible au $n$-ième lancer ;

• $b_{n}$ la probabilité qu'Alice manque la cible au $n$-ième lancer ;

• $P_{n}=\left(a_{n} b_{n}\right)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste au $n$-ième lancer.

1. 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état «Alice atteint la cible» et B l'état «Alice manque sa cible»).

   2. Indiquer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A, B).

   3. Justifier que $P_{1}=\left(0,5 0,5\right)$ et $P_{2}=\left(0,65 0,35\right)$

2. 1. Montrer que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $a_{n+1}=0,9a_{n}+0,4b_{n}$.

   2. En déduire que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $a_{n+1}=0,5a_{n}+0,4$

3. 1. Compléter l'algorithme fourni ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au $n$-ième lancer.

      Algorithme à rendre avec la copie

      Entrées	Saisir $n$
      Traitement	$a$ prend la valeur 0,5
      	$b$ prend la valeur 0,5
      	Pour $i$allant de 2 à $n$
      	$\qquad \qquad \qquad a$ prend la valeur ...... $\times a+$......
      	$\qquad \qquad \qquad b$ prend la valeur $1 - a$
      	Fin Pour
      Sortie	Afficher $a, b$

   2. Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $n=5$

4. 1. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif par : $u_{n}=a_{n} - 0,8$.

      Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

   2. Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, puis en déduire que pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, $a_{n}=0,8 - 0,3 \times 0,5^{n - 1}$.

   3. À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'Alice atteigne la cible ?

   4. Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent