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Suites - Bac blanc ES/L Sujet 2 - Maths-cours 2018

Exercice 4 (5 points)

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=250u_0=250 et, pour tout entier naturel nn :

un+1=0,8un+60.u_{n+1}=0,8u_n+60.

  1. Calculer u1u_1 et u2u_2.

  2. Compléter l'algorithme ci-après afin qu'il affiche le plus petit entier naturel nn tel que un⩾290u_n \geqslant 290.

    Algorithme de calcul de la somme S10

  3. Soit la suite (vn)(v_n) définie, pour tout entier naturel nn, par :

    vn=un−300. v_n=u_n - 300.

    1. Montrer que la suite (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer vnv_n en fonction de nn.

    3. En déduire que pour tout entier naturel nn :

      un=300−50×0,8n. u_n=300 - 50 \times 0,8^n.

  4. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur affichée par l'algorithme de la question 2.

  5. Une ville organise chaque année un tournoi d'Échecs. En 2016, 200200 joueurs ont participé à ce tournoi. Les organisateurs font l'hypothèse que, d'une année sur l'autre :

    • 20% des joueurs ne reviennent pas l'année suivante,

    • 60 nouveaux joueurs s'inscrivent au tournoi.

    La taille de la salle dans laquelle se déroule le tournoi limite le nombre de joueurs à 320. Les organisateurs vont-ils devoir refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir ? Justifier la réponse.

Corrigé

  1. Pour tout entier naturel nn, un+1=0,8un+60{u_{n+1}=0,8u_n+60} ; par conséquent :

    u1=0,8u0+60=0,8×250+60=260u_{1}=0,8u_0+60=0,8 \times 250+60=260.

    u2=0,8u1+60=0,8×260+60=268u_{2}=0,8u_1+60=0,8 \times 260+60=268.

  2. L'algorithme peut être complété de la façon suivante :

    Algorithme de calcul de la somme S10

    (Attention au sens de la condition « Tant que U<290{U<290} ». On veut que la boucle « Tant que » se termine lorsque \bm{U \geqslant 290} ; on souhaite donc qu'elle continue à s'effectuer dans le cas contraire, c'est à dire tant que \bm{U<290}.)

    1. Pour tout entier naturel nn, vn=un−300v_{n}= u_{n} - 300 ; par conséquent :

      vn+1=un+1−300v_{n+1}= u_{n+1} - 300.

      Comme un+1=0,8un+60u_{n+1}=0,8u_n + 60 :

      vn+1=0,8un+60−300v_{n+1} = 0,8u_n+60 - 300
      vn+1=0,8un−240.\phantom{v_{n+1}} = 0,8u_n - 240.

      Puisque vn=un−300v_{n}= u_{n} - 300, alors un=vn+300u_{n}= v_{n}+300. On en déduit :

      vn+1=0,8(vn+300)−240v_{n+1} = 0,8(v_n+300) - 240
      vn+1=0,8vn+240−240\phantom{v_{n+1}} = 0,8v_n+240 - 240
      vn+1=0,8vn.\phantom{v_{n+1}} = 0,8v_n.

      Par ailleurs :

      v0=u0−300=250−300=−50v_{0}= u_{0} - 300=250 - 300= - 50.

      La suite (vn)(v_n) est une suite géométrique de premier terme v0=−50{v_0= - 50} et de raison 0,80,8.

    2. La suite (vn)(v_n) étant une suite géométrique :

      vn=v0qn=−50×0,8nv_n=v_0q^n= - 50 \times 0,8^n.

    3. D'après les questions précédentes :

      un=vn+300=300−50×0,8nu_{n}= v_{n}+300 = 300 - 50 \times 0,8^n.

  4. À la calculatrice, on affiche un tableau de valeurs de la fonction x⟼300−50×0,8xx \longmapsto 300 - 50 \times 0,8^x.

    On trouve alors :

    u7≈289,51u_7 \approx 289,51 \quad et u8≈291,61\quad u_8 \approx 291,61

    L'algorithme affiche le plus petit entier naturel nn tel que un⩾290u_n \geqslant 290. L'algorithme affichera donc la valeur 8.

  5. Notons ana_n le nombre de joueurs inscrits au tournoi l'année 2016+n2016+n.

    En 2016, 250 joueurs ont participé au tournoi donc a0=250a_0=250.

    Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de 1−20100=0,8{1 - \dfrac{20}{100}=0,8} ; on ajoute ensuite les 60 nouveaux inscrits.

    On a donc :

    an+1=0,8an+60. a_{n+1}=0,8a_n+60.

    Les suites (un)(u_n) et (an)(a_n) sont définies par la même relation de récurrence et le même premier terme ; elles sont donc identiques.

    Par conséquent, d'après la question 3.c. :

    an=300−50×0,8na_{n}= 300 - 50 \times 0,8^n.

    Comme 50×0,8n50 \times 0,8^n est strictement positif pour tout entier nn, le nombre 300−50×0,8n300 - 50 \times 0,8^n est strictement inférieur à 300.

    Quelle que soit l'année, le nombre d'inscrits sera inférieur à 300. Les organisateurs n'auront donc pas à refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir.

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