Partie A

1. Lorsque le prix passe de 25 à 24 euros, le pourcentage de variation est :

   $V_p=\dfrac{24 - 25}{25}= - \dfrac{1}{25}= - 0,04= - 4\%$.

   Le prix a baissé de 4% lorsqu'il est passé de 25 à 24 euros.

   À retenir

   Lorsqu'une valeur passe de $V_0$ à $V_1$, le pourcentage de variation est :

   $t = \dfrac{V_1 - V_0}{V_0}.$

2. Lorsque le nombre de clients passe de 20 à 22, le pourcentage de variation est :

   $V_c=\dfrac{22 - 20}{20}=\dfrac{2}{20}=0,1=10\%.$

   Le nombre de clients a augmenté de 10% lorsqu'il est passé de 20 à 22.

3. 1. D'après la définition de l'énoncé, l'élasticité $e$ de la demande par rapport au prix est le quotient de la variation en pourcentage du nombre de clients par la variation en pourcentage du prix du menu.

      C'est à dire :

      $e=\dfrac{V_c}{V_p}=\dfrac{0,1}{ - 0,04}= - \dfrac{10}{4}= - 2,5$.

      L'élasticité de la demande par rapport au prix, lorsque le prix du menu passe de 25 à 24 euros, est de $- 2,5$.

   2. À chaque baisse de 1 euro, le restaurant attire 2 clients supplémentaires. Le tableau ci-après indique le nombre de clients en fonction du prix :

      Prix	25	24	23	22	21	20	19	$\cdots$
      Nb clients	20	22	24	26	28	30	32	$\cdots$

      Pour un menu à 20 euros, le nombre de clients est 30, et, pour un menu à 19 euros, le nombre de clients est 32.

      Lorsque le prix passe de 20 à 19 euros, le pourcentage de variation du prix est :

      $V_p=\dfrac{19 - 20}{20}= - \dfrac{1}{20}$.

      Le nombre de clients passe alors de 30 à 32 ; le pourcentage de variation du nombre de clients est donc :

      $V_c=\dfrac{32 - 30}{30}=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$.

      L'élasticité $e$ de la demande par rapport au prix vaut alors :

      $e=\dfrac{V_c}{V_p}=\dfrac{\dfrac{1}{15}}{ - \dfrac{1}{20}}= - \dfrac{20}{15}= - \dfrac{4}{3}$.

      L'élasticité de la demande par rapport au prix lorsque le prix du menu passe de 20 à 19 euros est de $- \dfrac{4}{3}$.

4. Lorsque le prix du menu est égal à 25 euros, le restaurant accueille {20 clients}.

   La recette vaut :

   $R_{25}=25 \times 20 = 500$ euros.

   La recette est de 500 euros lorsque le prix du menu est 25 euros.

   Lorsque le prix du menu est égal à 20 euros, le restaurant accueille 30 clients.

   La recette vaut alors :

   $R_{20}=20 \times 30 = 600$ euros.

   La recette est de 600 euros lorsque le prix du menu est 20 euros.

Partie B

1. La recette est égal au produit du nombre de clients par le prix du menu, par conséquent :

   $R(x)=xf(x)=x(70 - 2x)$$= - 2x^2+70x$.

   La fonction $R$ est une fonction polynôme du second degré. Le coefficient de $x^2$ est -2 ; il est négatif.

   $R$ admet un maximum pour :

   $x_0= - \dfrac{b}{2a}= - \dfrac{70}{ - 4}=17,5$.

   La recette est maximale lorsque le prix du menu est égal à 17,50 euros.

   À retenir

   Une fonction polynôme du second degré ${x \longmapsto ax^2+bx=c}$ ($a \neq 0$) admet un extremum pour :

   $x_0= - \dfrac{b}{2a}.$

   Cet extremum est :

   • un minimum si $a>0$,

   • un maximum si $a<0$.

   Remarque

   Il est aussi possible de calculer $R^{\prime}(x)$, d'étudier son signe et de dresser le tableau de variations de $R$.

   Toutefois, la propriété employée ici (et vue en classe de Seconde) permet d'aboutir au résultat plus rapidement.

2. La variation en pourcentage du prix du menu lorsqu'il passe de $x$ à $x - 1$ euros est :

   $V_p(x)=\dfrac{(x - 1) - x}{x}= - \dfrac{1}{x}$.

   Lorsque le prix du menu passe de $x$ à $x - 1$ euros, le nombre de clients passe de $f(x)$ à $f(x - 1)$.

   La variation en pourcentage du nombre de clients est alors :

   $V_c(x)=\dfrac{f(x - 1) - f(x)}{f(x)}$
   $\phantom{V_c(x)}=\dfrac{70 - 2(x - 1) - (70 - 2x)}{70 - 2x}$
   $\phantom{V_c(x)}=\dfrac{70 - 2x+2 - 70+2x}{70 - 2x}$
   $\phantom{V_c(x)}=\dfrac{2}{70 - 2x}.$

   L'élasticité vaut donc :

   $e(x)=\dfrac{V_c(x)}{V_p(x)}$// $\phantom{e(x)}=\dfrac{\dfrac{2}{70 - 2x}}{ - \dfrac{1}{x}}$
   $\phantom{e(x)}=\dfrac{2}{70 - 2x} \times \dfrac{ - x}{1}$
   $\phantom{e(x)}=\dfrac{ - 2x}{70 - 2x}.$

   Par ailleurs :

   $f(x)=70 - 2x$ donc $f^{\prime}(x)= - 2$ ;

   $x\ \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = x \times \dfrac{ - 2}{70 - 2x}=\dfrac{ - 2x}{70 - 2x}$.

   On a donc bien pour tout réel $x$ de l'intervalle $[10~;~25]$ :

   $e(x)=x\ \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}.$

   Bien rédiger

   Pour démontrer l'égalité $e(x)=x\ \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$, il est incorrect de présenter les calculs en partant de cette égalité (puisque l'on n'a pas encore démontré qu'elle était vraie...).

   Ici, on calcule séparément $e(x)$ et $x\ \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ et on montre que l'on aboutit au même résultat.

3. D'après la question précédente, $e$ est une fonction rationnelle définie et dérivable sur l'intervalle $[10~;~25]$ telle que:

   $e(x)=\dfrac{ - 2x}{70 - 2x}$

   Posons :

   $u(x)= - 2x$ ;

   $v(x)=70 - 2x$ ;

   alors :

   $u^{\prime}(x)= - 2$ ;

   $v^{\prime}(x)= - 2$.

   Par conséquent :

   $e^{\prime}(x)= \dfrac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x)}{v(x)^2}$
   $\phantom{e^{\prime}(x)}=\dfrac{ - 2(70 - 2x) - ( - 2x) \times ( - 2)}{(70 - 2x)^2}$
   $\phantom{e^{\prime}(x)}= \dfrac{ - 140+4x - 4x}{(70 - 2x)^2}$
   $\phantom{e^{\prime}(x)}= \dfrac{ - 140}{(70 - 2x)^2}.$

   Le numérateur est strictement négatif et le dénominateur est strictement positif sur l'intervalle $[10~;~25]$ donc $e^{\prime}$ est strictement négative et la fonction $e$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[10~;~25]$.

   Enfin :

   $e(x_0)=e(17,5)=\dfrac{ - 2 \times 17,5}{70 - 2 \times 17,5}$$=\dfrac{ - 35}{35}= - 1$.