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Probabilités - Bac blanc ES/L Sujet 2 - Maths-cours 2018

Exercice 3 (4 points)

Un cinéma de trois salles propose le choix entre les films A, B ou C. Suivant leur âge, les spectateurs payent leur place plein tarif ou bénéficient d'un tarif réduit.

Le directeur de la salle a constaté que :

On choisit au hasard un spectateur à la sortie du cinéma. On note :

  1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  2. Montrer que la probabilité que le spectateur choisi vienne d'aller voir le film A est égale à 0,4350,435.

  3. On sait que le spectateur vient de voir le film A. Quelle est la probabilité qu'il bénéficie du tarif réduit ?

  4. On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante, trois spectateurs. On suppose que ces choix peuvent être assimilés à des tirages successifs avec remise.

    On note XX la variable aléatoire correspondant au nombre de ces spectateurs qui viennent de voir le film A.

    1. Quelle est la loi de probabilité suivie par XX ? Préciser ses paramètres.

    2. Calculer la probabilité p(X⩾1)p(X \geqslant 1). Interpréter cette probabilité dans le cadre de l'énoncé.

Corrigé

  1. La situation peut être modélisée par l'arbre pondéré ci-après :

    Arbre pondéré de probabilité

    À retenir

    Le total des probabilités figurant sur l'ensemble des branches partant d'un même nœud est toujours égal à 1.

  2. La probabilité que le spectateur ait été voir le film A est p(A)p(A).

    D'après la formule des probabilités totales :

    p(A)=p(A∩R)+p(A∩R‾)p(A)=p(A\cap R)+p(A\cap \overline{R})
    p(A)=p(R)×pR(A)+p(R‾)×pR‾(A)\phantom{p(A)}=p(R) \times p_R(A)+ p({\overline{R}}) \times p_{\overline{R}}(A)
    p(A)=0,3×0,4+0,7×0,45=0,435.\phantom{p(A)}=0,3 \times 0,4 + 0,7 \times 0,45 = 0,435.

    À retenir

    Formule des probabilités totales :

    Si les événements B1,B2,⋯,BnB_1, B_2, \cdots , B_n forment une partition de l'univers (c'est à dire regroupent toutes les éventualités) alors, pour tout événement AA :

    p(A)=p(A∩B1)+p(A∩B2)p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2)+⋯+p(A∩Bn).+\cdots+p(A\cap B_n).

    Un cas particulier très fréquent, dû au fait que BB et B‾\overline{B} forment une partition de l'univers, donne :

    p(A)=p(A∩B)+p(A∩B‾). p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B}).

  3. La probabilité demandée est pA(R)p_A(R).

    En pratique

    Très souvent, en probabilités, la première étape consiste à traduire la probabilité cherchée en utilisant les notations de l'énoncé.

    Dans le cas présent, on sait que l'événement AA est vérifié et on souhaite déterminer la probabilité de l'événement RR. On recherche donc pA(R)p_A(R).

    Attention

    Ne pas confondre :

    • p(A∩R)p(A\cap R) : probabilité que AA et RR se réalisent (alors que l'on n'a, a priori, aucune information concernant la réalisation de AA ou de RR) ;

    • pA(R)p_A(R) : probabilité que RR se réalise alors que l'on sait que AA est réalisé.

    D'après la formule des probabilités conditionnelles :

    pA(R)=p(A∩R)p(A)=0,3×0,40,435p_A(R)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(A)}=\dfrac{0,3 \times 0,4}{0,435}=0,120,435≈0,276 =\dfrac{0,12}{0,435} \approx 0,276\ (à 10−310^{ - 3} près).

    1. La variable aléatoire XX suit une loi binomiale de paramètres n=3{n=3} et p=0,435{p=0,435}.

      En effet :

      • on assimile l'expérience aux tirages successifs et avec remise de 3 spectateurs ;

      • pour chaque spectateur, deux issues sont possibles :
        - succès : le spectateur vient d'aller voir le film A (probabilité p=0,435p=0,435) ;
        - échec : le spectateur ne vient pas d'aller voir le film A.

      • la variable aléatoire XX comptabilise le nombre de succès.

    2. L'événement contraire de (X⩾1)(X \geqslant 1) est (X<1)(X<1) c'est à dire (X=0)(X=0).

      Attention

      L'événement contraire de (X⩾aX \geqslant a) est (X<aX < a) et non (X⩽aX \leqslant a).

      Comme XX suit une loi binomiale :

      p(X=0)=(30)×0,4350×0,5653p(X=0)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times 0,435^0 \times 0,565^{3}=0,5653 = 0,565^{3}.

      Par conséquent :

      p(X⩾1)=1−p(X=0)p(X \geqslant 1)=1 - p(X=0)=1−0,5653≈0,820 =1 - 0,565^{3} \approx 0,820\ (à 10−310^{ - 3} près).

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