QCM - Bac blanc ES/L Sujet 2 - Maths-cours 2018
Exercice 1 (5 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte en justifiant le choix effectué.
Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Question 1 :
Soient A et B deux événements d'une expérience aléatoire tels que , et .
Alors :
a.
b.
c.
Question 2 :
Soit la fonction définie sur par .
Une équation de la tangente à la courbe représentative de au point est :
a.
b.
c.
Question 3 :
On lance trois dés équilibrés à six faces. La probabilité d'obtenir au moins un « 6 » (arrondie à ) est :
a.
b.
c.
Question 4 :
est une fonction définie sur l'intervalle dont le tableau de variations est donné ci-après :
L'équation :
a. n'admet aucune solution sur l'intervalle
b. admet une unique solution sur l'intervalle
c. admet deux solutions sur l'intervalle
Question 5 :
On considère la suite définie par et pour tout entier naturel :
La somme vaut :
a.
b.
c.
Corrigé
Question 1 :
Réponse correcte : c.
.
Remarque
Les réponses a. et b. sont incorrectes. En effet :
.
À retenir
Quels que soient les événements et :
.
Question 2 :
Réponse correcte : a.
est une fonction polynôme donc est dérivable sur et :
.
L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse est :
.
Or:
.
L'équation cherchée est donc :
.
À retenir
L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse \bm{a} est :
Question 3 :
Réponse correcte : b.
Soit la variable aléatoire comptabilisant le nombre de « 6 » obtenus.
suit une loi binomiale de paramètres (nombre de dés) et (probabilité d'obtenir un « 6 »)
La probabilité demandée est la probabilité de l'événement . L'événement contraire de est qui équivaut à .
Par conséquent :
.
Or:
(à près).
Remarque
On peut également utiliser la calculatrice pour calculer (par exemple BinomFdP(3, 1/6, 0) sur TI ou BinomialPD(0, 3, 1/6) sur Casio).
Par conséquent :
(à près)
À retenir
L'événement contraire de l'événement « obtenir au moins un six » est « n'obtenir aucun six ».
Question 4 :
Réponse correcte : b.
Sur l'intervalle , est continue et strictement décroissante. 3 appartient à l'intervalle donc l'équation admet une unique solution sur l'intervalle (théorème de la bijection aussi appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).
Bien rédiger
Pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution il est important de préciser que :
la fonction est continue,
la fonction est strictement monotone.
Sur l'intervalle , le maximum de est 1 donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
Bien rédiger
Pour montrer que l'équation n'admet pas de solution sur un intervalle , il suffit d'indiquer que le maximum de sur est strictement inférieur à ou que le minimum de sur est strictement supérieur à .
On n'utilise pas, dans ce cas, le théorème des valeurs intermédiaires (que l'on emploie, au contraire, lorsque l'on souhaite prouver qu'il y a une ou plusieurs solution(s) sur un intervalle).
Par conséquent, l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
Question 5 :
Réponse correcte : b.
La relation , pour tout entier naturel , montre que la suite est une suite géométrique de raison .
On a donc, pour tout entier naturel :
La somme vaut alors :
.
À retenir
La formule suivante permet de calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique :