Tle
Équations / inéquations avec logarithmes
Ce quiz comporte 6 questions
moyen
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes1
On considère l'équation (E) suivante :
ln(x)=−1
L'équation (E) n'a pas de solution dans R.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes1
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes1
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes1
C'est faux.
L'équation (E) admet une solution dans R :
ln(x)=−1⇔x=e−1=e1
donc S={e1}.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes2
L'ensemble des solutions de l'inéquation ln(x+1)⩽1 est S=]−∞ ; e−1].
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes2
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes2
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes2
C'est faux.
ln(x+1) est défini sur l'intervalle ]−1 ; +∞[.
Sur cet intervalle :
ln(x+1)⩽1⇔x+1⩽e
⇔x⩽e−1
et compte tenu de l'ensemble de définition :
S=]−1 ; e−1[.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes3
On considère l'équation (E) ci-dessous :
xln(x)=0
Dans R, l'ensemble des solutions de (E) est S={0 ;1}.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes3
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes3
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes3
C'est faux.
ln(x) n'est défini que pour x>0 donc 0 ne peut pas être solution de cette équation.
La seule solution valable est donc 1 (qui annule ln(x)).
S={1}.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes4
Soit l'inéquation :
ln(1+x2)⩾0.
L'ensemble des solutions de cette inéquation est S=R.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes4
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes4
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes4
C'est vrai.
Tout d'abord, remarquons que 1+x2>0 donc ln(1+x2) est bien défini pour tout réel x.
ln(1+x2)⩾0⇔1+x2⩾e0
⇔1+x2⩾1
⇔x2⩾0
et cette inégalité est vraie pour tout x∈R.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes5
Soit l'équation :
e2x−3ex+2=0
L'ensemble des solutions de cette équation est S={0 ;ln2}.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes5
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes5
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes5
C'est vrai.
On effectue le changement de variable X=ex :
e2x−3ex+2=0⇔X2−3X+2=0
L'équation X2−3X+2=0 a pour racines X1=1 et X2=2.
Or :
ex=1⇔x=0
ex=2⇔x=ln2.
Donc S={0 ;ln2}.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes6
On considère l'inéquation :
ln(x2+3x)<2ln2
L'ensemble des solutions de cette inéquation est S=]−4 ; 1[.
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes6
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes6
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes6
C'est faux.
x2+3x=x(x+3) a pour racines −3 et 0 et est strictement positif si et seulement si x∈]−∞ ; −3[∪]0 ; +∞[.
Donc l'équation n'est définie que sur D=]−∞ ; −3[∪]0 ; +∞[.
Sur cet ensemble , on trouve en effet après calculs :
ln(x2+3x)<2ln2⇔x∈]−4 ; 1[
mais compte tenu de l'ensemble de définition :
S=]−4 ; −3[∪]0 ; 1[