Quiz . Maths-cours

C'est vrai.

Tout d'abord, remarquons que $1+x^2 > 0$ donc $\ln \left( 1+x^2 \right)$ est bien défini pour tout réel $x$.

$\ln \left( 1+x^2 \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow 1+x^2 \geqslant \text{e}^{ 0 }$

$\Leftrightarrow 1+x^2 \geqslant 1$

$\Leftrightarrow x^2 \geqslant 0$

et cette inégalité est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}.$

C'est faux.

$\ln \left( x+1 \right)$ est défini sur l'intervalle $\left] - 1~;~ +\infty \right[.$

Sur cet intervalle  :

$\ln \left( x+1 \right) \leqslant 1 \Leftrightarrow x+1 \leqslant \text{e}$

$\Leftrightarrow x \leqslant \text{e} - 1$

et compte tenu de l'ensemble de définition :

$S = \left] - 1~;~\text{e} - 1 \right[.$

C'est faux.

L'équation $(E)$ admet une solution dans $\mathbb{R}$ :

$\ln \left( x \right) = - 1 \Leftrightarrow x = \text{e}^{ - 1 } = \frac{ 1 }{ \text{e} }$

donc $S = \left\{ \frac{ 1 }{ \text{e} } \right\}.$

C'est faux.

$x^2 + 3x = x(x+3)$ a pour racines $- 3$ et $0$ et est strictement positif si et seulement si $x \in \left] - \infty ~;~ - 3\right[ \cup \left] 0~;~ +\infty \right[.$

Donc l'équation n'est définie que sur $\mathscr{D} = \left] - \infty ~;~ - 3\right[ \cup \left] 0~;~ +\infty \right[.$

Sur cet ensemble , on trouve en effet après calculs :

$\ln \left( x^2 + 3x \right) < 2 \ln 2 \Leftrightarrow x \in \left] - 4~;~1 \right[$

mais compte tenu de l'ensemble de définition :

$S = \left] - 4 ~;~ - 3\right[ \cup \left] 0~;~1 \right[$

C'est faux.

$\ln \left( x \right)$ n'est défini que pour $x > 0$ donc $0$ ne peut pas être solution de cette équation.

La seule solution valable est donc $1$ (qui annule $\ln (x)$).

$S = \left\{ 1 \right\}.$

C'est vrai.

On effectue le changement de variable $X= \text{e}^{ x }$ :

$\text{e}^{ 2x } - 3 \text{e}^{ x } + 2 = 0 \Leftrightarrow X^2 - 3X + 2 = 0$

L'équation $X^2 - 3X + 2 = 0$ a pour racines $X_1= 1$ et $X_2 = 2$.

Or :

$\text{e}^{ x } = 1 \Leftrightarrow x = 0$

$\text{e}^{ x } = 2 \Leftrightarrow x= \ln 2.$

Donc $S = \left\{ 0~; \ln 2 \right\}.$