[Bac] Etude d'une fonction avec logarithme (2)

Extrait d'un exercice du Bac S Métropole 2012.

Le sujet complet (qui nécessite l'étude des chapitres Suites et Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Métropole 2012

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[1 ; +\infty \right[$ par

$f\left(x\right) = \frac{1}{x+1} + \ln\left(\frac{x}{x+1}\right).$

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .
Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[1 ; +\infty \right[$ , $f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x\left(x+1\right)^{2}}$ .

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .
En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[1 ; +\infty \right[$ .

Corrigé