Cette équation est définie sur $\mathbb{R}$.

$e^{x+1}=2 \Leftrightarrow x+1=\ln2$ (d'après cette propriété)

L'équation a pour unique solution $x=\ln2 - 1$

L'équation est définie sur $\mathbb{R}$ et équivalente à :

$x^{2}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)$

$x^{2}= - \ln\left(2\right)$

Comme $- \ln\left(2\right) < 0$ l'équation proposée n'a pas de solution.

L'équation est définie si $x+1 > 0$ donc sur l'intervalle $D=\left] - 1 ; +\infty \right[$

Sur cet intervalle, elle est équivalente à :

$x+1=e^{ - 1}$

$x= - 1+e^{ - 1}$ (que l'on peut aussi écrire $- 1+\frac{1}{e}$ ou $\frac{1 - e}{e}$)

Cette valeur appartient bien à $D$ donc est l'unique solution de l'équation.

Cette équation est définie pour $x > - 1$ et $x > 1$ c'est à dire sur l'intervalle $D = \left]1 ; +\infty \right[$.

$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(\left(x+1\right)\left(x - 1\right)\right)=1$

$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(x^{2} - 1\right)=1$

$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2} - 1=e$

$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2}=e+1$

$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow x=\sqrt{e+1}$ ou $x= - \sqrt{e+1}$

La valeur $- \sqrt{e+1}$ est négative donc n'appartient pas à $D$.

L'équation a donc pour unique solution $x=\sqrt{e+1}$