Equations avec logarithme ou exponentielle
Résoudre les équations suivantes (on déterminera au préalable l'ensemble de définition de chaque équation) :
ex+1=2
ex2=21
ln(x+1)=−1
ln(x+1)+ln(x−1)=1
Cette équation est définie sur R.
ex+1=2⇔x+1=ln2 (d'après cette propriété)
L'équation a pour unique solution x=ln2−1
L'équation est définie sur R et équivalente à :
x2=ln(21)
x2=−ln(2)
Comme −ln(2)<0 l'équation proposée n'a pas de solution.
L'équation est définie si x+1>0 donc sur l'intervalle D=]−1;+∞[
Sur cet intervalle, elle est équivalente à :
x+1=e−1
x=−1+e−1 (que l'on peut aussi écrire −1+e1 ou e1−e)
Cette valeur appartient bien à D donc est l'unique solution de l'équation.
Cette équation est définie pour x>−1 et x>1 c'est à dire sur l'intervalle D=]1;+∞[.
ln(x+1)+ln(x−1)=1⇔ln((x+1)(x−1))=1
ln(x+1)+ln(x−1)=1⇔ln(x2−1)=1
ln(x+1)+ln(x−1)=1⇔x2−1=e
ln(x+1)+ln(x−1)=1⇔x2=e+1
ln(x+1)+ln(x−1)=1⇔x=√e+1 ou x=−√e+1
La valeur −√e+1 est négative donc n'appartient pas à D.
L'équation a donc pour unique solution x=√e+1
