Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Equations avec logarithme ou exponentielle

Résoudre les équations suivantes (on déterminera au préalable l'ensemble de définition de chaque équation) :

  1. ex+1=2e^{x+1}=2

  2. ex2=12e^{x^{2}}=\frac{1}{2}

  3. ln(x+1)=1\ln\left(x+1\right)= - 1

  4. ln(x+1)+ln(x1)=1\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1

Corrigé

  1. Cette équation est définie sur R\mathbb{R}.

    ex+1=2x+1=ln2e^{x+1}=2 \Leftrightarrow x+1=\ln2 (d'après cette propriété)

    L'équation a pour unique solution x=ln21x=\ln2 - 1

  2. L'équation est définie sur R\mathbb{R} et équivalente à :

    x2=ln(12)x^{2}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)

    x2=ln(2)x^{2}= - \ln\left(2\right)

    Comme ln(2)<0 - \ln\left(2\right) < 0 l'équation proposée n'a pas de solution.

  3. L'équation est définie si x+1>0x+1 > 0 donc sur l'intervalle D=]1;+[D=\left] - 1 ; +\infty \right[

    Sur cet intervalle, elle est équivalente à :

    x+1=e1x+1=e^{ - 1}

    x=1+e1x= - 1+e^{ - 1} (que l'on peut aussi écrire 1+1e - 1+\frac{1}{e} ou 1ee\frac{1 - e}{e})

    Cette valeur appartient bien à DD donc est l'unique solution de l'équation.

  4. Cette équation est définie pour x>1x > - 1 et x>1x > 1 c'est à dire sur l'intervalle D=]1;+[D = \left]1 ; +\infty \right[.

    ln(x+1)+ln(x1)=1ln((x+1)(x1))=1\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(\left(x+1\right)\left(x - 1\right)\right)=1

    ln(x+1)+ln(x1)=1ln(x21)=1\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(x^{2} - 1\right)=1

    ln(x+1)+ln(x1)=1x21=e\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2} - 1=e

    ln(x+1)+ln(x1)=1x2=e+1\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2}=e+1

    ln(x+1)+ln(x1)=1x=e+1\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow x=\sqrt{e+1} ou x=e+1x= - \sqrt{e+1}

    La valeur e+1 - \sqrt{e+1} est négative donc n'appartient pas à DD.

    L'équation a donc pour unique solution x=e+1x=\sqrt{e+1}