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Fonction logarithme – Bac S Pondichéry 2016

Exercice 4 - 3 points

Commun à tous les candidats

Soit ff la fonction définie sur ]0 ; 14]]0~;~14] par

f(x)=2−ln(x2).f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).

La courbe représentative Cf\mathscr{C}_f de la fonction ff est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :

fonction-logarithme

À tout point MM appartenant à Cf\mathscr{C}_f on associe le point PP projeté orthogonal de MM sur l'axe des abscisses, et le point QQ projeté orthogonal de MM sur l'axe des ordonnées.

Justifier les réponses.

Corrigé

Notons xx l'abscisse du point MM.xx est positif donc OP=xOP=x.

Le point MM appartient à la courbe Cf\mathscr C_f; son ordonnée est donc f(x)f(x). Comme ff est positive sur ]0 ; 14]]0~;~14], OQ=f(x)OQ=f(x).

L'aire du rectangle OPMQOPMQ est donc :

A(x)=OP×OQ\mathscr A(x)=OP \times OQ =x×f(x)=2x−xln(x2)=x \times f(x) = 2x - x\ln \left(\frac{x}{2}\right)

Cette aire n'est pas constante.

La fonction A\mathscr A est dérivable sur ]0 ; 14]]0~;~14] :

(ln(x2))′=12x2=1x\left(\ln \left(\frac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}=\frac{1}{x}

(xln(x2))′=ln(x2)+x×1x=1+ln(x2)\left(x\ln \left(\frac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \ln \left(\frac{x}{2}\right) + x \times \frac{1}{x} = 1 + \ln \left(\frac{x}{2}\right)

 

A′(x)=2−[1+ln(x2)]=1−ln(x2)\mathscr A^{\prime}(x)=2 - \left[1 + \ln \left(\frac{x}{2}\right)\right]=1 - \ln \left(\frac{x}{2}\right)

Etudions le signe de A′(x)\mathscr A^{\prime}(x) :

A′(x)>0 ⇔ 1−ln(x2)>0\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ \Leftrightarrow \ 1 - \ln \left(\frac{x}{2}\right) > 0

A′(x)>0 ⇔ ln(x2)<1\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \ln \left(\frac{x}{2}\right) < 1

A′(x)>0 ⇔ x2<e\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \frac{x}{2} < e (par croissance de la fonction exponentielle)

A′(x)>0 ⇔ x<2e\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ x < 2e

On démontre de même que A′(x)<0 ⇔ x>2e\mathscr A^{\prime}(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ x > 2e et A′(x)=0 ⇔ x=2e\mathscr A^{\prime}(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2e.

Par ailleurs :

f(2e)=2−ln(2e2)=2−ln(e)=2−1=1f(2e)=2 - \ln\left(\frac{2e}{2}\right)=2 - \ln(e)=2 - 1=1

et A(2e)=2e×f(2e)=2e\mathscr A(2e)=2e \times f(2e)=2e

On obtient le tableau de variations suivant :

tableau de variations

D'après ce tableau, l'aire du rectangle OPMQOPMQ est maximale au point MM de coordonnées (2e ; f(2e))(2e~;~f(2e)) c'est à dire M(2e ; 1)M(2e~;~1).

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