Fonction logarithme népérien
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1. Définition de la fonction logarithme népérien
Théorème et définition
Pour tout réel $ x > 0 $, l'équation $ e^{y}=x $, d'inconnue $ y $, admet une unique solution.
La fonction logarithme népérien, notée $ \ln $, est la fonction définie sur $ \left]0;+\infty \right[ $ qui à $ x > 0 $, associe le réel $ y $ solution de l'équation $ e^{y}=x $.
Remarque
Pour $ x\leqslant 0 $, par contre, l'équation $ e^{y}=x $ n'a pas de solution
Propriété
- Pour tout réel $ x > 0 $ et tout $ y \in \mathbb{R} $ : $ e^{y}=x \Leftrightarrow y=\ln\left(x\right) $
- Pour tout réel $ x > 0 $ : $ e^{\ln\left(x\right)}=x $
- Pour tout réel $ x $ : $ \ln\left(e^{x}\right)=x $
Remarque
- Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition
- On dit que les fonctions «logarithme népérien » et «exponentielle » sont réciproques
- On en déduit immédiatement : $ \ln\left(1\right)=0 $ et $ \ln\left(e\right)=1 $
2. Étude de la fonction logarithme népérien
Théorème
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur $ \left]0 ;+\infty \right[ $ et sa dérivée est définie par :
Démonstration
On dérive l'égalité $ e^{\ln\left(x\right)}=x $ membre à membre.
D'après le théorème de dérivation des fonctions composées on obtient :
$ \ln^{\prime}\left(x\right)\times e^{\ln\left(x\right)}=1 $
C'est à dire :
$ \ln^{\prime}\left(x\right)\times x=1 $
$ \ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x} $
Propriété
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $.
Démonstration
Sa dérivée $ \ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x} $ est strictement positive sur $ \left]0;+\infty \right[ $
Propriété
Soit $ u $ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $ I $.
Alors la fonction $ f : x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right) $ est dérivable sur $ I $ et :
Démonstration
On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées .
Exemple
Soit $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\ln\left(x^{2}+1\right) $
$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^{2}+1} $
Limites
- $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\ln\left(x\right)= - \infty $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\ln\left(x\right)=+\infty $
Remarque
- Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :
Tableau de variation de la fonction logarithme népérien
Graphique de la fonction logarithme népérien
Théorème (« Croissance comparée »)
- $ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x \ln x=0 $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\ln x}{x}=0 $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}=1 $
Remarque
Comme dans le cas de la fonction exponentielle, on peut généraliser les deux premières formules :
Pour tout entier $ n \geqslant 1 $:
- $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{n} \ln x=0 $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\ln x}{x^{n}}=0 $
Théorème
Si $ a $ et $ b $ sont 2 réels strictement positifs :
- $ \ln a=\ln b $ si et seulement si $ a=b $
- $ \ln a < \ln b $ si et seulement si $ a < b $
Remarque
- Le théorème précédent résulte de la stricte croissance de la fonction logarithme népérien.
- En particulier, comme $ \ln\left(1\right)=0 $ : $ \ln x < 0 \Leftrightarrow x < 1 $. N'oubliez donc pas que $ \ln\left(x\right) $ peut être négatif (si $ 0 < x < 1 $) ; c'est une cause d'erreurs fréquente dans les exercices notamment avec des inéquations !
Convexité
La fonction logarithme népérien est concave sur $ \left]0;+\infty \right[ $.
Démonstration
La dérivée seconde de $ \ln $ est :
Pour tout $ x > 0 $, on a $ x^{2} > 0 $ donc $ \ln^{\prime\prime}\left(x\right) < 0 $ : la fonction $ \ln $ est bien concave sur $ \left]0;+\infty \right[ $.
Remarque
Graphiquement, la courbe de la fonction $ \ln $ est située en dessous de chacune de ses tangentes.
3. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Théorème
Si $ a $ et $ b $ sont 2 réels strictement positifs et si $ n \in \mathbb{Z} $ :
- $ \ln\left(ab\right)=\ln a+\ln b $
- $ \ln\left(\dfrac{1}{a}\right)= - \ln a $
- $ \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b $
- $ \ln\left(a^{n}\right)=n \ln a $
- $ \ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2} \ln a $
Exemple
- $ \ln\left(4\right)=\ln\left(2^{2}\right)=2\ln\left(2\right) $
- Pour $ x > 1 $ : $ \ln\left(\dfrac{x+1}{x - 1}\right)= \ln\left(x+1\right) - \ln\left(x - 1\right) $
Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que $ x > 1 $.
Si $ x < - 1 $, l'expression $ \ln\left(\dfrac{x+1}{x - 1}\right) $ est définie mais pas $ \ln\left(x+1\right) - \ln\left(x - 1\right) $.
Les questions essentielles
1. Comment simplifier une expression contenant des logarithmes ?
On utilise les propriétés algébriques : $ \ln(ab) = \ln a + \ln b $, $ \ln(a/b) = \ln a - \ln b $ et $ \ln(a^{n}) = n\ln a $. On décompose l'expression en appliquant ces règles puis on regroupe les termes.
Voir la fiche méthode : Simplifier une expression avec les propriétés de ln
2. Comment résoudre une équation contenant ln ?
On détermine d'abord le domaine de validité (arguments strictement positifs), puis on se ramène à la forme $ \ln(A) = \ln(B) $ pour appliquer l'injectivité : $ A = B $. Si l'équation est de la forme $ \ln(A) = k $, on passe à la forme exponentielle $ A = e^{k} $.
Voir la fiche méthode : Résoudre une équation avec ln
3. Comment résoudre une inéquation avec ln ?
On se ramène à $ \ln(A) \leqslant \ln(B) $ et on utilise la stricte croissance de $ \ln $ : $ A \leqslant B $. L'étape essentielle est d'intersecter le résultat avec le domaine de validité.
Voir la fiche méthode : Résoudre une inéquation avec ln
4. Comment dériver une fonction contenant ln ?
On utilise la formule $ (\ln x)' = \dfrac{1}{x} $ ou, pour une composée, $ (\ln(u))' = \dfrac{u'}{u} $. Il est souvent utile de simplifier d'abord l'expression avec les propriétés algébriques de $ \ln $ avant de dériver.
Voir la fiche méthode : Dériver une fonction contenant ln
5. Comment calculer une limite avec ln (croissances comparées) ?
On utilise les résultats de croissances comparées : $ \lim \dfrac{\ln x}{x} = 0 $ et $ \lim x\ln x = 0 $. Face à une forme indéterminée, on factorise pour faire apparaître l'une de ces formes de référence.
Voir la fiche méthode : Calculer une limite avec ln et les croissances comparées