Fonction logarithme népérien
1. Définition de la fonction logarithme népérien
Théorème et définition
Pour tout réel , l'équation , d'inconnue , admet une unique solution.
La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur qui à , associe le réel solution de l'équation .
Remarque
Pour , par contre, l'équation n'a pas de solution
Propriétés
Pour tout réel et tout :
Pour tout réel :
Pour tout réel :
Remarques
Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition
On dit que les fonctions «logarithme népérien» et «exponentielle» sont réciproques
On en déduit immédiatement : et
2. Etude de la fonction logarithme népérien
Théorème
La fonction logarithme népérien est dérivable sur et sa dérivée est définie par :
Démonstration
On dérive l'égalité membre à membre.
D'après le théorème de dérivation des fonctions composées on obtient :
C'est à dire :
Propriété
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur .
Démonstration
Sa dérivée est strictement positive sur
Propriété
Soit une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle .
Alors la fonction est dérivable sur et :
Démonstration
On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées .
Exemple
Soit définie sur par
est dérivable sur et
Limites
Remarques
Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :
Tableau de variation de la fonction logarithme népérien
Graphique de la fonction logarithme népérien
Théorème ( «Croissance comparée»)
Remarque
Comme dans le cas de la fonction exponentielle, on peut généraliser les deux premières formules :
Pour tout entier :
Théorème
Si et sont 2 réels strictement positifs :
si et seulement si
si et seulement si
Remarques
Le théorème précédent résulte de la stricte croissance de la fonction logarithme népérien.
En particulier, comme : . N'oubliez donc pas que peut être négatif (si ); c'est une cause d'erreurs fréquente dans les exercices notamment avec des inéquations !
3. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Théorème
Si et sont 2 réels strictement positifs et si :
Exemples
Pour :
Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que .
Si , l'expression est définie mais pas .