Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Fonction logarithme népérien

1. Définition de la fonction logarithme népérien

Théorème et définition

Pour tout réel x>0x > 0, l'équation ey=xe^{y}=x, d'inconnue yy, admet une unique solution.

La fonction logarithme népérien, notée ln\ln, est la fonction définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ qui à x>0x > 0, associe le réel yy solution de l'équation ey=xe^{y}=x.

Remarque

Pour x⩽0x\leqslant 0, par contre, l'équation ey=xe^{y}=x n'a pas de solution

Propriétés

  • Pour tout réel x>0x > 0 et tout y∈Ry \in \mathbb{R} : ey=x⇔y=ln(x) e^{y}=x \Leftrightarrow y=\ln\left(x\right)

  • Pour tout réel x>0x > 0 : eln(x)=xe^{\ln\left(x\right)}=x

  • Pour tout réel xx : ln(ex)=x\ln\left(e^{x}\right)=x

Remarques

  • Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition

  • On dit que les fonctions «logarithme népérien» et «exponentielle» sont réciproques

  • On en déduit immédiatement : ln(1)=0\ln\left(1\right)=0 et ln(e)=1\ln\left(e\right)=1

2. Etude de la fonction logarithme népérien

Théorème

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[\left]0 ;+\infty \right[ et sa dérivée est définie par :

ln′(x)=1x\ln^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x}

Démonstration

On dérive l'égalité eln(x)=xe^{\ln\left(x\right)}=x membre à membre.

D'après le théorème de dérivation des fonctions composées on obtient :

ln′(x)×eln(x)=1\ln^{\prime}\left(x\right)\times e^{\ln\left(x\right)}=1

C'est à dire :

ln′(x)×x=1\ln^{\prime}\left(x\right)\times x=1

ln′(x)=1x\ln^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x}

Propriété

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.

Démonstration

Sa dérivée ln′(x)=1x\ln^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x} est strictement positive sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[

Propriété

Soit uu une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle II.

Alors la fonction f:x↦ln(u(x)) f : x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right) est dérivable sur II et :

f′=u′uf^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}

Démonstration

On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées .

Exemple

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ln(x2+1)f\left(x\right)=\ln\left(x^{2}+1\right)

ff est dérivable sur R\mathbb{R} et f′(x)=2xx2+1f^{\prime}\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2}+1}

Limites

  • limx→0ln(x)=−∞\lim\limits_{x\rightarrow 0}\ln\left(x\right)= - \infty

  • limx→+∞ln(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\ln\left(x\right)=+\infty

Remarques

  • Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :

Fonction logarithme népérien : tableau de variation

Tableau de variation de la fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien : graphique

Graphique de la fonction logarithme népérien

Théorème ( «Croissance comparée»)

  • limx→0xlnx=0\lim\limits_{x\rightarrow 0}x \ln x=0

  • limx→+∞lnxx=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\ln x}{x}=0

  • limx→0ln(1+x)x=1\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}=1

Remarque

Comme dans le cas de la fonction exponentielle, on peut généraliser les deux premières formules :

Pour tout entier n>1n > 1:

  • limx→0xnlnx=0\lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{n} \ln x=0

  • limx→+∞lnxxn=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\ln x}{x^{n}}=0

Théorème

Si aa et bb sont 2 réels strictement positifs :

  • lna=lnb\ln a=\ln b si et seulement si a=ba=b

  • lna<lnb\ln a < \ln b si et seulement si a<ba < b

Remarques

  • Le théorème précédent résulte de la stricte croissance de la fonction logarithme népérien.

  • En particulier, comme ln(1)=0\ln\left(1\right)=0 : lnx<0⇔x<1\ln x < 0 \Leftrightarrow x < 1. N'oubliez donc pas que ln(x)\ln\left(x\right) peut être négatif (si 0<x<10 < x < 1); c'est une cause d'erreurs fréquente dans les exercices notamment avec des inéquations !

3. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

Théorème

Si aa et bb sont 2 réels strictement positifs et si n∈Zn \in \mathbb{Z} :

  • ln(ab)=lna+lnb\ln\left(ab\right)=\ln a+\ln b

  • ln(1a)=−lna\ln\left(\frac{1}{a}\right)= - \ln a

  • ln(ab)=lna−lnb\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b

  • ln(an)=nlna\ln\left(a^{n}\right)=n \ln a

  • ln(a)=12lna\ln\left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2} \ln a

Exemples

  • ln(4)=ln(22)=2ln(2)\ln\left(4\right)=\ln\left(2^{2}\right)=2\ln\left(2\right)

  • Pour x>1x > 1 : ln(x+1x−1)=ln(x+1)−ln(x−1)\ln\left(\frac{x+1}{x - 1}\right)= \ln\left(x+1\right) - \ln\left(x - 1\right)

    Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que x>1x > 1.

    Si x<−1x < - 1, l'expression ln(x+1x−1)\ln\left(\frac{x+1}{x - 1}\right) est définie mais pas ln(x+1)−ln(x−1)\ln\left(x+1\right) - \ln\left(x - 1\right).

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices

Quiz