1. Définition de la fonction logarithme népérien
Théorème et définition
Pour tout réel x > 0, l’équation e^{y}=x, d’inconnue y, admet une unique solution.
La fonction logarithme népérien, notée \ln, est la fonction définie sur \left]0;+\infty \right[ qui à x > 0, associe le réel y solution de l’équation e^{y}=x.
Remarques
- Pour x\leqslant 0, par contre, l’équation e^{y}=x n’a pas de solution
Propriétés
♦ Pour tout réel x > 0 et tout y \in \mathbb{R} : e^{y}=x \Leftrightarrow y=\ln\left(x\right)
♦ Pour tout réel x > 0 : e^{\ln\left(x\right)}=x
♦ Pour tout réel x : \ln\left(e^{x}\right)=x
Remarques
- Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition
- On dit que les fonctions «logarithme népérien» et «exponentielle» sont réciproques
- On en déduit immédiatement : \ln\left(1\right)=0 et \ln\left(e\right)=1
2. Etude de la fonction logarithme népérien
Théorème
La fonction logarithme népérien est dérivable sur \left]0 ;+\infty \right[ et sa dérivée est définie par :
\ln^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x}
Démonstration
On dérive l’égalité e^{\ln\left(x\right)}=x membre à membre.
D’après le théorème de dérivation des fonctions composées on obtient :
\ln^{\prime}\left(x\right)\times e^{\ln\left(x\right)}=1
C’est à dire :
\ln^{\prime}\left(x\right)\times x=1
\ln^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x}
Propriété
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \left]0;+\infty \right[.
Démonstration
Sa dérivée \ln^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x} est strictement positive sur \left]0;+\infty \right[
Propriété
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
Alors la fonction f : x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right) est dérivable sur I et :
f^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}
Démonstration
On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées .
Exemple
Soit f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\ln\left(x^{2}+1\right)
f est dérivable sur \mathbb{R} et f^{\prime}\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2}+1}
Limites
- \lim\limits_{x\rightarrow 0}\ln\left(x\right)=-\infty
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\ln\left(x\right)=+\infty
Remarques
- Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :
Théorème ( «Croissance comparée»)
- \lim\limits_{x\rightarrow 0}x \ln x=0
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\ln x}{x}=0
- \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}=1
Remarque
Comme dans le cas de la fonction exponentielle, on peut généraliser les deux premières formules :
Pour tout entier n > 1:
♦ \lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{n} \ln x=0
♦ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\ln x}{x^{n}}=0
Théorème
Si a et b sont 2 réels strictement positifs :
- \ln a=\ln b si et seulement si a=b
- \ln a < \ln b si et seulement si a < b
Remarques
- Le théorème précédent résulte de la stricte croissance de la fonction logarithme népérien.
- En particulier, comme \ln\left(1\right)=0 : \ln x < 0 \Leftrightarrow x < 1. N’oubliez donc pas que \ln\left(x\right) peut être négatif (si 0 < x < 1); c’est une cause d’erreurs fréquente dans les exercices notamment avec des inéquations !
3. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Théorème
Si a et b sont 2 réels strictement positifs et si n \in \mathbb{Z} :
- \ln\left(ab\right)=\ln a+\ln b
- \ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a
- \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b
- \ln\left(a^{n}\right)=n \ln a
- \ln\left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2} \ln a
Exemples
- \ln\left(4\right)=\ln\left(2^{2}\right)=2\ln\left(2\right)
- Pour x > 1 : \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)= \ln\left(x+1\right)-\ln\left(x-1\right)
Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que x > 1.
Si x < -1, l’expression \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) est définie mais pas \ln\left(x+1\right)-\ln\left(x-1\right).
