1. Produit scalaire
Deux vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires (voir chapitre précédent). On peut alors définir le produit scalaire dans l'espace à l'aide de la définition donnée en Première pour deux vecteurs d'un plan.
La plupart des propriétés vues en Première seront donc encore valables pour le produit scalaire dans l'espace, en particulier pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} :
\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)
\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}\right)
\vec{u}^{2} = ||\vec{u}||^{2}
La notion d'orthogonalité de vecteurs vue en Première est encore valable dans l'espace. Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} : \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux \Leftrightarrow \vec{u}.\vec{v}=0.
Les principales distinctions concernent les formules faisant intervenir les coordonnées puisque, dans l'espace, chaque vecteur possède trois coordonnées.
Propriété
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \left(x ; y ; z\right) et \left(x^{\prime} ; y^{\prime} ; z^{\prime}\right) dans ce repère. Alors:
Conséquences
||\vec{u}|| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
AB=||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}}
2. Orthogonalité dans l'espace
Définition
Deux droites d_{1} et d_{2} sont orthogonales si et seulement si il existe une droite qui est à la fois parallèle à d_{1} et perpendiculaire à d_{2}
d_{1} et d_{2} sont orthogonales
Remarque
Attention à ne pas confondre orthogonales et perpendiculaires. Le terme perpendiculaires s'emploie uniquement pour des droites sécantes (donc coplanaires).
Propriétés
Soient deux droites d_{1} et d_{2}, \overrightarrow{u_{1}} un vecteur directeur de d_{1} et \overrightarrow{u_{2}} un vecteur directeur de d_{2}.
d_{1} et d_{2} sont orthogonales si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{u_{1}} et \overrightarrow{u_{2}} sont orthogonaux, c'est à dire si et seulement si \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}=0
Définition (Droite perpendiculaire à un plan)
Une droite d est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan \mathscr P si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan.
Droite perpendiculaire à un plan
Remarque
Une droite orthogonale à un plan coupe nécessairement ce plan en un point. Il n'y a donc plus lieu ici de distinguer orthogonalité et perpendicularité.
Propriété
La droite d est perpendiculaire au plan \mathscr P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes incluses dans ce plan.
Définition (Plans perpendiculaires)
Deux plans \mathscr P_{1} et \mathscr P_{1} sont perpendiculaires (ou orthogonaux) si et seulement si \mathscr P_{1} contient une droite d perpendiculaire à \mathscr P_{2}.
Remarque
Attention, cela ne signifie pas que toutes les droites de \mathscr P_{1} sont orthogonales à toutes les droites de \mathscr P_{2}
Définition (Vecteur normal à un plan)
On dit qu'un vecteur \vec{n} non nul est un vecteur normal au plan \mathscr P si et seulement si la droite dirigée par \vec{n} est perpendiculaire au plan \mathscr P.
Théorème
Soit \mathscr P un plan de vecteur normal \vec{n} et soit A un point de \mathscr P.
M \in \mathscr P \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0.
Théorème
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)
Le plan \mathscr P de vecteur normal \vec{n} \left(a ; b; c\right) admet une équation cartésienne de la forme :
où a, b, c sont les coordonnées de \vec{n} et d un nombre réel.
Réciproquement, l'ensemble des points M\left(x ; y ; z\right) tels que ax+by+cz+d=0 (a, b, c, d étant des réels avec a\neq 0 ou b\neq 0 ou c\neq 0) est un plan dont un vecteur normal est \vec{n}\left(a ; b ; c\right).
Démonstration
Soit A\left(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}\right) un point de \mathscr P :
M \in \mathscr P \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0 \Leftrightarrow a\left(x-x_{A}\right)+b\left(y-y_{A}\right)+c\left(z-z_{A}\right)= 0 <span style="visibility:hidden">M \in \mathscr P \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0 </span> \Leftrightarrow ax+by+cz-ax_{A}-by_{A}-cz_{A}= 0
et il suffit de poser d=-ax_{A}-by_{A}-cz_{A}.
Réciproquement, supposons par exemple a\neq 0.
Soit A le point de coordonnées \left(-\frac{d}{a} ; 0 ;0\right) Les coordonnées de A vérifient :
ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d= 0.
On a alors d = -ax_{A}-by_{A}-cz_{A} donc :
ax+by+cz+d=0 \Leftrightarrow a\left(x-x_{A}\right)+b\left(y-y_{A}\right)+c\left(z-z_{A}\right)= 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0
donc M\left(x ; y ; z\right) appartient au plan passant par A et dont un vecteur normal est \vec{n}\left(a ; b ; c\right)
Exemple
On cherche une équation cartésienne du plan passant par A\left(1 ; 3 ; -2\right) et de vecteur normal \vec{n}\left(1 ; 1 ; 1\right).
Ce plan admet une équation cartésienne de la forme :
\left(E\right) x+y+z+d=0
Le point A\left(1 ; 3 ; -2\right) appartient à ce plan, donc les coordonnées de A vérifient l'équation \left(E\right) :
1+3-2+d=0 soit d=-2
Une équation cartésienne du plan est donc :
\left(E\right) x+y+z-2=0
Propriétés
Une droite d est parallèle à un plan \mathscr P si et seulement si un vecteur directeur de d est orthogonal à un vecteur normal de \mathscr P.
Une droite d est perpendiculaire à un plan \mathscr P si et seulement si un vecteur directeur de d est colinéaire à un vecteur normal de \mathscr P.
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
