Géométrie analytique Cube - Bac S Liban 2009

Exercice 3

4 points - Commun à tous candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par l le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.

/Bac S Liban 2009 - 2

Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ .

1. Déterminer les coordonnées des points l et J.
2. Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan (BGI).
3. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).
4. Calculer la distance du point F au plan (BGI).
On note ( $\Delta$ ) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
1. Donner une représentation paramétrique de la droite ( $\Delta$ ).
2. Montrer que la droite ( $\Delta$ ) passe par le centre K de la face ADHE.
3. Montrer que la droite ( $\Delta$ ) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées
  
  $\left(\frac{2}{3}; \frac{1}{6}; \frac{5}{6}\right)$ .
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
  Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ?