Géométrie dans l'espace – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

Exercice 3 - 6 points

Commun à tous les candidats

Dans le repère orthonormé $(O~;~\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$ , le plan $P_m$ d'équation

$\frac{1}{4} m^2x+(m - 1)y+\frac{1}{2} mz - 3 = 0.$

Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point $A(1~;~1~;~1)$ appartient-il au plan $P_m$ ?
Montrer que les plans $P_1$ et $P_{ - 4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique
$(d) \ \begin{cases} x = 12 - 2t \\ y = 9 - 2t \\ z = t \end{cases} \quad$ avec $t \in \mathbb{R}$
1. Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté $B$ dont on déterminera les coordonnées.
2. Justifier que pour tout réel $m$ , le point $B$ appartient au plan $P_m$ .
3. Montrer que le point $B$ est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$ .

Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m^\prime$ tels que

$- 10 \leqslant m \leqslant 10$ et $- 10 \leqslant m^\prime \leqslant 10$ .

On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m^\prime$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m^\prime}$ sont perpendiculaires.

Vérifier que $P_1$ et $P_{ - 4}$ sont perpendiculaires.
Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m^\prime}$ sont perpendiculaires si et seulement si
$\left(\frac{mm^\prime}{4}\right)^2 +(m - 1)\left(m^\prime - 1\right)+\frac{mm^\prime}{4} = 0.$

On donne l'algorithme suivant :

Variables :
$m$ et $m^\prime$ entiers relatifs
Traitement :
Pour $m$ allant de $- 10$ à $10$ :
$\quad$ Pour $m^\prime$ allant de $- 10$ à $10$ :
$\quad \quad$ Si $\left(mm^\prime\right)^2+16(m - 1)\left(m^\prime - 1\right)+4mm^\prime = 0$
$\quad \quad$ Alors
$\quad \quad \quad$ Afficher $\left(m~;~m^\prime\right)$
$\quad \quad$ Fin du Si
$\quad$ Fin du Pour
Fin du Pour

Quel est le rôle de cet algorithme?

Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $( - 4~;~1),\: (0~;~1)$ et $(5~;~ - 4)$ .

Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.