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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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QCM Géometrie dans l'espace - Bac S Pondichéry 2013

Exercice 2   (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte.
Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 11 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal. tt et tt^{\prime} désignent des paramètres réels.

Le plan (P)\left(P\right) a pour équation x2y+3z+5=0x - 2y+3z+5=0.

Le plan (S)\left(S\right) a pour représentation paramétrique {x=2+t+2ty=t2tz=1t+3t\left\{ \begin{matrix} x= - 2+t+2t^{\prime} \\ y= - t - 2t^{\prime} \\ z= - 1 - t+3t^{\prime} \end{matrix}\right.

La droite (D)\left(D\right) a pour représentation paramétrique {x=2+ty=tz=1t\left\{ \begin{matrix} x= - 2+t \\ y= - t \\ z= - 1 - t \end{matrix}\right.

On donne les points de l'espace M(1;2;3)M\left( - 1 ; 2 ; 3\right) et N(1;2;9)N\left(1 ; - 2 ; 9\right).

  1. Une représentation paramétrique du plan (P)\left(P\right) est :

    1. {x=ty=12tz=1+3t\left\{ \begin{matrix} x=t \\ y=1 - 2t \\ z= - 1+3t \end{matrix}\right.

    2. {x=t+2ty=1t+tz=1t\left\{ \begin{matrix} x=t+2t^{\prime} \\ y=1 - t+t^{\prime} \\ z= - 1 - t \end{matrix}\right.

    3. {x=t+ty=1t2tz=1t3t\left\{ \begin{matrix} x=t+t^{\prime} \\ y=1 - t - 2t^{\prime} \\ z=1 - t - 3t^{\prime} \end{matrix}\right.

    4. {x=1+2t+ty=12t+2tz=1t\left\{ \begin{matrix} x=1+2t+t^{\prime} \\ y=1 - 2t+2t^{\prime} \\ z= - 1 - t^{\prime} \end{matrix}\right.

    1. La droite (D)\left(D\right) et le plan (P)\left(P\right) sont sécants au point A(8;3;2)A\left( - 8 ; 3 ; 2\right).

    2. La droite (D)\left(D\right) et le plan (P)\left(P\right) sont perpendiculaires.

    3. La droite (D)\left(D\right) est une droite du plan (P)\left(P\right).

    4. La droite (D)\left(D\right) et le plan (P)\left(P\right) sont strictement parallèles.

    1. La droite (MN)\left(MN\right) et la droite (D)\left(D\right) sont orthogonales.

    2. La droite (MN)\left(MN\right) et la droite (D)\left(D\right) sont parallèles.

    3. La droite (MN)\left(MN\right) et la droite (D)\left(D\right) sont sécantes.

    4. La droite (MN)\left(MN\right) et la droite (D)\left(D\right) sont confondues.

    1. Les plans (P)\left(P\right) et (S)\left(S\right) sont parallèles.

    2. La droite (Δ)\left(\Delta \right) de représentation paramétrique

      {x=ty=2tz=3t\left\{ \begin{matrix} x=t \\ y= - 2 - t \\z= - 3 - t \end{matrix}\right.

      est la droite d'intersection des plans (P)\left(P\right) et (S)\left(S\right).

    3. Le point MM appartient à l'intersection des plans (P)\left(P\right) et (S)\left(S\right).

    4. Les plans (P)\left(P\right) et (S)\left(S\right) sont perpendiculaires.

Corrigé

  1. Réponse exacte : b. Le plus simple ici est de procéder par élimination :

    La réponse a. n'est pas la représentation paramétrique d'un plan mais d'une droite.

    Le plan proposé en c. contient le point de coordonnées (0;1;1)\left(0;1;1\right) qui n'appartient pas à (P)\left(P\right) car 02×1+3×1+500 - 2\times 1+3\times 1+5 \neq 0

    Le plan proposé en d. contient le point de coordonnées (1;1;1)\left(1;1; - 1\right) qui n'appartient pas à (P)\left(P\right) car 12×1+3×(1)+501 - 2\times 1+3\times \left( - 1\right)+5 \neq 0  

  2. Réponse exacte : c. Soit M(x;y;z)M\left(x; y; z\right) un point quelconque de (D)\left(D\right), il existe un réel tt tel que {x=2+ty=tz=1t\left\{ \begin{matrix} x= - 2+t \\ y= - t \\ z= - 1 - t \end{matrix}\right.

    Alors :

    x2y+3z+5=2+t2(t)+3(1t)+5=t+2t3t23+5=0x - 2y+3z+5= - 2+t - 2\left( - t\right)+3\left( - 1 - t\right)+5=t+2t - 3t - 2 - 3+5=0

    Donc le point MM appartient au plan (P)\left(P\right).

    La droite (D)\left(D\right) est est donc incluse dans le plan (P)\left(P\right).  

  3. Réponse exacte : a. MN(2;4;6)\overrightarrow{MN}\left(2; - 4;6\right)

    Le vecteur u(1;1;1)\vec{u}\left(1; - 1; - 1\right) est un vecteur directeur de la droite (D)\left(D\right).

    MN.u=2×1+(4)×(1)+6×(1)=0\overrightarrow{MN}.\vec{u}=2\times 1+\left( - 4\right)\times \left( - 1\right)+6\times \left( - 1\right)=0

    Les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et u\vec{u} sont orthogonaux donc les droites (MN)\left(MN\right) et (D)\left(D\right) sont orthogonales.  

  4. Réponse exacte : b. On montre que la droite (Δ)\left(\Delta \right) est incluse dans le plan (P)\left(P\right) de façon analogue à la question 2. Elle est aussi incluse dans le plan (S)\left(S\right) (il suffit de faire t=0t^{\prime}=0 dans la représentation paramétrique de (S)\left(S\right)).

    (P)\left(P\right) et (S)\left(S\right) ne sont pas confondus : par exemple le point B(0;2;2)B\left(0; - 2;2\right) appartient à (S)\left(S\right) (prendre t=0;t=1t=0; t^{\prime}=1) et n'appartient pas à (P)\left(P\right) (02×(2)+3×2+500 - 2\times \left( - 2\right)+3\times 2+5\neq 0).

    Donc (P)(S)=(Δ)\left(P\right) \cap \left(S\right) = \left(\Delta \right)