Equations de plans - Bac S Métropole 2008
Exercice 2 (5 points)
Commun à tous les candidats
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O;i⃗,j⃗,k⃗), on considère les points
A(1,1,0) , B(1,2,1) et C(3,−1,2).
Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+y−z−3=0.
On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives x+2y−z−4=0 et 2x+3y−2z−5=0.
Démontrer que l'intersection des plans (P) et (Q) est une droite (D), dont une représentation paramétrique est :
⎩⎨⎧x=−2+ty=3z=t avec (t∈R)
Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), (P) et (Q) ?
Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la distance du point A à la droite (D).
AB⎝⎛011⎠⎞
AC⎝⎛2−22⎠⎞
Les vecteurs AB et AC n'étant pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés.
Les coordonnées des points A, B et C vérifient l'équation 2x+y−z−3=0. En effet :
pour A : 2×1+1×1−1×0−3=0
pour B : 2×1+1×2−1×1−3=0
pour C : 2×3+1×(−1)−1×2−3=0
Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne 2x+y−z−3=0.
M de coordonnées (x;y;z) appartient à P∩Q si et seulement si :
{x+2y−z−4=02x+3y−2z−5=0
On pose t=z et on résout le système.
⎩⎨⎧z=tx=−2y+t+4−4y+2t+8+3y−2t−5=0⇔⎩⎨⎧z=ty=3x=−2+t
Pour trouver l'intersection des 3 plans (ABC), (P) et (Q), on résout le système :
(S)⎩⎨⎧2x+y−z−3=0x+2y−z−4=02x+3y−2z−5=0
D'après la question précédente les deux dernières équations donnent y=3 ce qui permet d'accélérer la résolution :
(S)⇔⎩⎨⎧y=32x+3−z−3=0x+6−z−4=0⇔⎩⎨⎧x=2y=3z=4
L'intersection des plans (ABC), (P) et (Q) est donc le point de coordonnées (2;3;4).
Soit M un point de (D). Ses coordonnées (x;y;z) sont de la forme :
⎩⎨⎧x=−2+ty=3z=t
La distance de A à (D) est le minimum de la distance AM lorsque M décrit (D).
Or :
AM2=(−3+t)2+(3−1)2+t2=t2−6t+9+4+t2=2t2−6t+13
AM2 est un polynôme du second degré en t qui atteint son minimum pour t=−2ab=23
Ce minimum vaut alors :
AM02=2(23)2−6(23)+13=217
La distance de A à (D) est donc :
AM0=√2√17=2√34
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