Exercice 4   (4 points)

Commun à tous les candidats

L'entreprise Printfactory fabrique, en grande quantité, des cartouches d'encre noire pour imprimante.

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

1. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque cartouche produite, associe sa durée de vie exprimée en nombre de pages.

   On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu =250$ et d'écart-type $\sigma =10$.

   1. Affirmation 1 : Environ 95% des cartouches produites ont une durée de vie comprise entre $230$ et $270$ pages.

   2. Affirmation 2 : Moins de 50% des cartouches produites ont une durée de vie inférieure à $300$ pages

2. L'entreprise Printfactory a amélioré son procédé industriel et déclare que 80% des cartouches produites ont une durée de vie supérieure à $250$ pages.

   Un contrôleur désigné par l'entreprise effectue un test en prélevant de façon aléatoire un échantillon de cartouches dans la production.

   Dans un échantillon de taille 1000, le contrôleur a obtenu $240$ cartouches vides d'encre avant l'impression de $250$ pages.

   Affirmation 3 : Le contrôleur valide la déclaration de l'entreprise.

3. L'entreprise Printfactory souhaite connaître l'opinion de ses 10 000 clients quant à la qualité d'impression de ses cartouches.

   Pour cela, elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau $0,95$ avec un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 4%.

   Affirmation 4 : L'entreprise doit interroger au moins un quart de ses clients