Exercice 2   (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie A : Étude d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$\mathscr C_{f}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ et $f^{\prime\prime}$ la fonction dérivée seconde de $f$.

1. 1. Montrer que pour tout réel $x, f^{\prime}\left(x\right)= \left(2x^{2}+1\right) e^{x^{2} - 1}$.

   2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$

2. On admet que pour tout réel $x, f^{\prime\prime}\left(x\right)=2x \left(2x^{2}+3\right) e^{x^{2} - 1}$.

   Déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.

3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

   $h\left(x\right)=x \left(1 - e^{x^{2} - 1}\right).$

   1. Justifier que l'inéquation $1 - e^{x^{2} - 1}\geqslant 0$ a pour ensemble de solutions l'intervalle $\left[ - 1 ; 1\right]$.

   2. Déterminer le signe de $h\left(x\right)$ sur 1'intervalle $\left[ - 1 ; 1\right]$.

   3. En remarquant que pour tout réel $x$, on a l'égalité $h\left(x\right)=x - f\left(x\right)$, déduire de la question précédente la position relative de la courbe $\mathscr C_{f}$ et de la droite $D$ d'équation $y=x$ sur l'intervalle [0 ; 1]

4. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $H\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}e^{x^{2} - 1}$ et soit $I=\int_{0}^{1} h\left(x\right)dx$.

   On admet que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.

   Calculer la valeur exacte de $I$.

Partie B : Applications

Sur le graphique suivant, sont tracées sur l'intervalle $\left[0 ; 1\right]$ :

• la courbe $\mathscr C_{f}$ représentative de la fonction étudiée en partie A ;

• la courbe $\mathscr C_{g}$ représentative de la fonction définie par $g\left(x\right)=x^{3}$ ;

• la droite $D$ d'équation $y=x$.

Les courbes $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$ illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G :

• sur l'axe des abscisses, $x$ représente la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles par rapport à l'effectif total de l'entreprise ;

• sur l'axe des ordonnées, $f\left(x\right)$ et $g\left(x\right)$ représentent pour chaque entreprise la proportion de la masse salariale (c'est-à-dire la somme de tous les salaires) correspondante.

Par exemple :

Si on classe les employés par revenu croissant, le total des salaires de la première moitié (c'est-à-dire des 50% aux revenus les plus faibles) représente 12,5% de la masse salariale.)

1. Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80% des employés ayant les salaires les plus faibles dans l'entreprise F. On donnera une valeur du résultat arrondie à l'unité.

2. On note $\mathscr A_{f}$ l'aire du domaine délimité par la droite $D$, la courbe $\mathscr C_{f}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

   On appelle indice de Gini associé à la fonction $f$, le nombre réel noté $I_{f}$ et défini par $I_{f} = 2\times \mathscr A_{f}$.

   1. Montrer que $I_{f}=\frac{1}{e}$.

   2. On admet que, plus l'indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l'entreprise est égalitaire.
      Déterminer, en justifiant, l'entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire