Exercice 1   (5 points)

Commun à tous les candidats

Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s'est déroulée en deux temps :

• premier temps : étude du dossier présenté par le candidat;

• deuxième temps : entretien en vue du recrutement.

Le processus de recrutement mis en œuvre par l'entreprise est le suivant :

• si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu en entretien par le directeur des ressources humaines;

• si le dossier n'est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien par le directeur de l'entreprise.

Dans les deux cas, à l'issue de l'entretien, le candidat est recruté ou ne l'est pas.

À l'issue de cette campagne de recrutement, l'entreprise publie les résultats suivants :

• 30% des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité ;

• 20% des candidats n'ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés;

• 38% des candidats ont été recrutés.

1. On prend un candidat au hasard et on note :

   ♦ $D$ l'évènement « le candidat a un dossier jugé de bonne qualité»;

   ♦ $R$ l'évènement « le candidat est recruté par l'entreprise».

   1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

   2. Calculer la probabilité que le candidat n'ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l'entreprise.

   3. Montrer que la probabilité de l'événement $D \cap R$ est égale à $0,24$.

   4. En déduire la probabilité qu'un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité. Compléter l'arbre pondéré réalisé dans la question a

2. Dix personnes postulent pour un emploi dans l'entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes.

   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,38$.

   2. Calculer la probabilité qu'au moins une des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à $10^{ - 3}$

3. Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien avec la direction des ressources humaines.

   Coralie arrive à 8 h 30 alors qu'Aymeric arrive au hasard entre 8 h et 9 h.

   On désigne par $T$ la variable aléatoire donnant l'heure d'arrivée d'Aymeric et on admet que $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[8 ; 9\right]$.

   Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes