Exercice 3   (5 points)

Commun à tous les candidats

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément.

On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

Partie A : Modèle exponentiel

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction $f$ qui modélise la situation précédente.

On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément et $f\left(x\right)$ la durée de chargement exprimée en seconde.

1. Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour 8000 personnes connectées.

2. 1. Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par $f$.

   2. Donner une interprétation de ce résultat

Partie B : Modèle logarithmique

On considère une autre fonction $g$ pour modéliser la situation précédente.

On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est alors $g\left(x\right)$ avec $g\left(x\right) =10x - 8\ln \left(x\right)$ pour $x$ appartenant à $\left[0,5 ; +\infty \right[$.

1. Calculer $g^{\prime}\left(x\right)$.

2. Dresser le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $\left[0,5 ; +\infty \right[$.

3. Justifier que la fonction $G$ définie sur $\left[0,5 ; +\infty \right[$ par $G\left(x\right)=5x^{2}+8x - 8x\ln\left(x\right)$ est une primitive de $g$ sur $\left[0,5 ; +\infty \right[$.

4. On pose $I=\frac{1}{2} \int_{2}^{4} g\left(x\right)dx$

   1. Montrer que la valeur exacte de $I$ peut s'écrire sous la forme $a+b\ln \left(2\right)$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on déterminera.

   2. Déterminer une valeur approchée à $10^{ - 2}$ près de $I$ puis donner une interprétation de ce résultat

Partie C

Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément 8000 personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes.

Déterminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo.