Exercice 2   (6 points)

Commun à tous les candidats

Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l'objectif est de le louer. Pour cela, il s'intéresse à la rentabilité locative de cet appartement.

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{ - 4}$.

Partie A

On considère deux types d'appartement :

• Les appartements d'une ou deux pièces notés respectivement T1 et T2 ;

• Les appartements de plus de deux pièces.

Une étude des dossiers d'appartements loués dans un secteur ont montré que :

• 35% des appartements loués sont de type T1 ou T2 ;

• 45% des appartements loués de type T1 ou T2 sont rentables ;

• 30% des appartements loués, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables.

On choisit un dossier au hasard et on considère les évènements suivants :

• T : «l'appartement est de type T1 ou T2» ;

• R : «l'appartement loué est rentable» ;

1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

2. Montrer que la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525.

3. Calculer la probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable.

Partie B

On considère $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler $X$ à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu =35$ et d'écart type $\sigma =5$.

À l'aide de la calculatrice :

1. Calculer $P\left(25\leqslant X\leqslant 35\right)$.

2. Calculer la probabilité qu'au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables.

Partie C

L'investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60% des appartements sont rentables.

Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard 280 dossiers d'appartements loués. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.

1. Déterminer la fréquence observée sur l'échantillon prélevé.

2. Peut-on valider l'affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.