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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac blanc ES/L Sujet 4 - Maths-cours 2018

Exercice 4 (6 points)

Un fournisseur d'accès internet propose deux formules, nommées « Start » et « Plus », à ses abonnés.

On suppose que le nombre global d'abonnés à ce fournisseur d'accès est stable d'une année sur l'autre et égal à 2 millions.

En 2010, 1,5 million de personnes étaient abonnés à la formule « Start » et 500 000 personnes étaient abonnés à la formule « Plus ».

Chaque année :

Pour tout entier naturel nn, on note ana_n (respectivement bnb_n) le nombre d'abonnés, en milliers, à la formule « Start » (respectivement à la formule « Plus » ) l'année 2010+n2010+n.

On a donc a0=1 500{a_0=1~500} et b0=500{b_0=500}.

  1. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel nn, an+bn=2 000{a_n+b_n=2~000}.

  2. Montrer que, pour tout entier naturel nn :

    an+1=0,7an+0,1bn. a_{n+1} =0,7a_n+0,1b_n.

  3. En déduire que, pour tout entier naturel nn :

    an+1=0,6an+200. a_{n+1} =0,6a_n+200.

  4. Soit la suite (un)(u_n) définie, pour tout entier naturel nn, par :

    un=an500. u_n=a_n - 500.

    1. Montrer que la suite (un)(u_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer unu_n en fonction de nn.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel nn :

      an=500+1000×0,6n. a_n=500+1000 \times 0,6^n.

  5. Montrer que la suite (an)(a_n) est décroissante et converge vers une limite que l'on déterminera. Que peut-on en déduire concernant le nombre d'abonnés à la formule « Start » ?

  6. On souhaite utiliser un tableur pour calculer les termes ana_n et bnb_n.

    utilisation d'un tableur

    1. Proposer une formule à saisir dans la cellule C2 pour calculer a1a_1.

      Cette formule devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite (an)(a_n) en la « tirant vers la droite ».

    2. Proposer une formule à saisir dans la cellule B3 pour calculer b0b_0.

      Cette formule devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite (bn)(b_n) en la « tirant vers la droite ».

Corrigé

  1. Pour tout entier naturel nn, la somme an+bn{a_n+b_n} représente le nombre total d'abonnés (en milliers) chez ce fournisseur d'accès internet.

    D'après l'énoncé ce nombre est stable et correspond à 2 millions, soit 2 000 milliers d'abonnés.

    Par conséquent, pour tout entier naturel nn :

    an+bn=2 000. a_n+b_n = 2~000.

  2. an+1a_{n+1} représente le nombre d'abonnés, en milliers, à la formule « Start » l'année 2010+n+12010+n+1.

    Ce nombre comporte :

    • les abonnés à la formule « Start » de l'année précédente qui se réinscrivent à cette même formule, c'est à dire 70% de ana_n soit 0,7an0,7a_n ;

    • les abonnés à la formule « Plus » de l'année précédente qui décident de migrer vers la formule « Start », c'est à dire 10% de bnb_n soit 0,1bn0,1b_n ;

    Au total, on obtient :

    an+1=0,7an+0,1bn. a_{n+1} =0,7a_n+0,1b_n.

  3. D'après la question 1., an+bn=2 000a_n+b_n = 2~000 donc bn=2 000anb_n = 2~000 - a_n.

    Comme an+1=0,7an+0,1bna_{n+1} =0,7a_n+0,1b_n, alors :

    an+1=0,7an+0,1(2 000an)a_{n+1} =0,7a_n+0,1(2~000 - a_n)
    an+1=0,7an+2000,1an\phantom{a_{n+1}} =0,7a_n+200 - 0,1a_n
    an+1=0,6an+200.\phantom{a_{n+1}} =0,6a_n+200.

    1. Pour tout entier naturel nn :

      un+1=an+1500u_{n+1}=a_{n+1} - 500

      un+1=0,6an+200500\phantom{u_{n+1}}=0,6a_n+200 - 500

      un+1=0,6an300\phantom{u_{n+1}}=0,6a_n - 300.

      Or un=an500u_n=a_n - 500 donc an=un+500a_n=u_n+500 ; alors :

      un+1=0,6(un+500)300u_{n+1}=0,6(u_n+500) - 300

      un+1=0,6un+500500\phantom{u_{n+1}}=0,6u_n+500 - 500

      un+1=0,6un\phantom{u_{n+1}}=0,6u_n.

      De plus, comme u0=a0500=1 500500=1 000{u_0=a_0 - 500=1~500 - 500=1~000}, la suite (un)(u_n) est une suite géométrique de premier terme u0=1 000{u_0=1~000} et de raison q=0,6{q=0,6}.

    2. Par conséquent :

      un=u0qn=1 000×0,6nu_n=u_0q^n=1~000 \times 0,6^n.

    3. En utilisant la question précédente et la relation an=un+500{a_n=u_n+500}, on en déduit que pour tout entier naturel nn :

      an=un+500=500+1 000×0,6na_n=u_n+500=500+1~000 \times 0,6^n.

  4. D'après la question précédente, pour tout entier naturel nn :

    an+1an=500+1000×0,6n+1[500+1000×0,6n]a_{n+1} - a_n=500+1000 \times 0,6^{n+1} - \left[500+1000 \times 0,6^n\right]

    an+1an=500+1000×0,6n+15001000×0,6n\phantom{a_{n+1} - a_n}=500+1000 \times 0,6^{n+1} - 500 - 1000 \times 0,6^n

    an+1an=1000×0,6n+11000×0,6n\phantom{a_{n+1} - a_n}=1000 \times 0,6^{n+1} - 1000 \times 0,6^n.

    Or 0,6n+1=0,6n×0,60,6^{n+1}=0,6^n \times 0,6, donc :

    an+1an=1000×0,6n×0,61000×0,6na_{n+1} - a_n=1000 \times 0,6^n \times 0,6 - 1000 \times 0,6^n

    an+1an=1000×0,6n[0,61)\phantom{a_{n+1} - a_n}=1000 \times 0,6^{n}[0,6 - 1)

    an+1an=0,4×1000×0,6n\phantom{a_{n+1} - a_n}= - 0,4 \times 1000 \times 0,6^{n}.

    an+1ana_{n+1} - a_n est strictement négatif pour tout entier naturel nn, donc la suite (an)(a_n) est strictement décroissante.

    À retenir

    Pour démontrer qu'une suite (un)(u_n) est croissante, on montre que pour tout entier naturel nn :

    un+1un0. u_{n+1} - u_n \geqslant 0.

    Pour démontrer qu'une suite (un)(u_n) est décroissante, on montre que pour tout entier naturel nn :

    un+1un0. u_{n+1} - u_n \leqslant 0.

    En pratique

    La formule :

    an+1=an×a. a^{n+1} = a^n \times a.

    qui est un cas particulier de la formule an+m=an×am{a^{n+m} = a^n \times a^m} est très souvent utilisée dans les calculs concernant les suites géométriques.

    Comme 0<0,6<10 < 0,6 < 1, limn+0,6n=0{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,6^n=0} et limn+1000×0,6n=0{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}1000 \times 0,6^n=0}. Par conséquent :

    limn+an=limn+500+1000×0,6n=500.\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}500+1000 \times 0,6^n =500.

    On en déduit que le nombre d'abonnés à la formule « Start » va décroître et se rapprocher de \bm{500~000}.

    1. Solution n°1

      On sait que pour tout entier naturel nn : an+1=0,6an+200a_{n+1}=0,6a_n+200.

      En particulier a1=0,6a0+200a_1=0,6a_0+200.

      a0a_0 est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule C2 :

      =0,6*B2+200

      Solution n°2

      On sait que pour tout entier naturel nn : an=500+1000×0,6na_{n}=500+1000 \times 0,6^n.

      En particulier a1=500+1000×0,61a_1=500+1000 \times 0,6^1.

      Les indices sont situés sur la ligne n°1 ; l'indice 1 est situé dans la cellule C1. On peut donc saisir dans la cellule C2 :

      =500+1000*PUISSANCE(0,6 ; C1)

    2. Pour tout entier naturel nn, bn=2 000anb_n=2~000 - a_n.
      En particulier : b0=2 000a0{b_0=2~000 - a_0}.

      a0a_0 est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule B3 :

      =2000-B2

      Remarque : D'autres solutions sont également possibles.

      À retenir

      Dans un tableur, une formule mathématique doit débuter par le signe = pour être exécutée.