Partie A

1. D'après les données de l'énoncé :

   • $p(F)=0,52$ ;

   • $p(G)=0,48$ ;

   • $p_F(S)=0,59$ ;

   • $p_G(S)=0,68$.

   On obtient alors l'arbre ci-après :

   

2. La probabilité demandée est $p(G \cap S)$ :

   $p(G \cap S)= p(G) \times p_S(G)=0,48 \times 0,68 = 0,3264$.

   En pratique

   L'événement $G \cap S$ correspond à : « les événements $G$ et $S$ sont tous les deux réalisés ».

   La probabilité de $G \cap S$ peut se calculer à l'aide de la formule :

   $p(G \cap S)= p(G \times p_G(S).$

   À partir de l'arbre pondéré, cela revient à multiplier les probabilités situées sur :

   • la branche qui aboutit à $G$,

   • La branche qui relie $G$ à $S$.

3. La probabilité cherchée est $p(S)$.

   D'après la formule des probabilités totales :

   $p(S)=p(F\cap S) + p(G\cap S)$
   $\phantom{p(S)}=p(F) \times p_F(S) + p(G) \times p_{G}(S)$
   $\phantom{p(S)} = 0,52 \times 0,59 +0,48 \times 0,68=0,6332$.

4. La probabilité demandée est $p_S(G)$.

   D'après la formule des probabilités conditionnelles :

   $p_S(G)=\dfrac{p(G\cap S)}{p(S)}=\dfrac{0,3264}{0,6332} \approx 0,5155\$ (à $10^{ - 4}$ près).

Partie B

1. Luc est à l'heure à son cours s'il arrive entre 9h30 et 10h, c'est à dire si $9,5 \leqslant T \leqslant 10$.

   $T$ suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[9,5~;~10,25]$ :

   $p(9,5 \leqslant T \leqslant 10)=\dfrac{10 - 9,5}{10,25 - 9,5}=\dfrac{0,5}{0,75}=\dfrac{2}{3} \approx 0,6667\$ (à $10^{ - 4}$ près).

   À retenir

   Si $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~;~b]$, alors pour tous réels $c$ et $d$ de l'intervalle $[a~;~b]$ avec $c \leqslant d$ :

   $p(c \leqslant X \leqslant d) = \dfrac{d - c}{b - a}.$

2. Luc arrive à son cours avec plus d'un quart d'heure d'avance s'il arrive entre 9h30 et 9h45, c'est à dire si ${9+\dfrac{1}{2} \leqslant T \leqslant 9+\dfrac{3}{4}}$ ou encore ${9,5 \leqslant T \leqslant 9,75}$.

   La probabilité de cet événement est :

   $p(9,5 \leqslant T \leqslant 9,75)=\dfrac{9,75 - 9,5}{10,25 - 9,5}=\dfrac{0,25}{0,75}=\dfrac{1}{3} \approx 0,3333\$ (à $10^{ - 4}$ près).

3. Comme $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[9,5~;~10,25]$ :

   $E(T)=\dfrac{9,5+10,25}{2}=\dfrac{19,75}{2}=9,875$.

   L'espérance mathématique de $T$ représente l'heure d'arrivée moyenne de Luc.

   $0,875$ heure correspond à $0,875 \times 60 = 52,5$ minutes.

   En moyenne, Luc arrivera à son cours à 9h 52min 30s.

   À retenir

   L'espérance mathématique de la loi uniforme sur l'intervalle $[a~;~b]$ est :

   $E(X) = \dfrac{a+b}{2}.$