Question 1 :

Réponse correcte : a.

On utilise le fait que pour tout réel $x$ : ${\text{e}^{ - 2x}=\dfrac{1}{\text{e}^{2x}}}$.

Alors :

$\text{e}^{ - 2x}+1=\dfrac{1}{\text{e}^{2x}}+1=\dfrac{1}{\text{e}^{2x}}+\dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x}}=\dfrac{1+\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x}}=\dfrac{\text{e}^{2x}+1}{\text{e}^{2x}}$.

\vspace{2mm} Par conséquent :

$f(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}+1}{\dfrac{\text{e}^{2x}+1}{\text{e}^{2x}}}=(\text{e}^{2x}+1) \times {\dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x}+1}}=\text{e}^{2x}$,

après simplification par ${\text{e}^{2x}+1}$.

Question 2 :

Réponse correcte : b.

La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~2]$.

L'intégrale $I$ est donc égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$.

Ce domaine est coloré en vert sur le graphique ci-après ; l'unité d'aire est l'aire du carré tracé en rouge.

On voit facilement que l'aire $I$ est comprise entre 2 et 4 unités d'aire.

Question 3 :

Réponse correcte : b.

La dérivée de la fonction constante $x \longmapsto 1$ est nulle.

Pour dériver la fonction $x \longmapsto x \text{e}^{x}$ on pose :

Alors :

Donc :

$g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)=\text{e}^{x}+x \text{e}^{x}=(1+x)\text{e}^{x}$,

après factorisation de $\text{e}^{x}$.

Question 4 :

Réponse correcte : b.

$f$ est une fonction polynôme sur l'intervalle $[0~;~5]$.

$f$ et $f^{\prime}$ sont donc dérivables sur l'intervalle $[0~;~5]$ et :

$f^{\prime}(x)=3x^2+6$ ;

$f^{\prime \prime}(x)=6x+1$.

$f^{\prime \prime}$ est une fonction affine qui est strictement positive sur l'intervalle $[0~;~5]$ (en effet, $6x+1$ est strictement positif dès lors que $x> - \dfrac{1}{6}$).

La fonction $f$ est donc convexe sur l'intervalle $[0~;~5]$.