QCM - Bac blanc ES/L Sujet 4 - Maths-cours 2018
Exercice 1 (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte en justifiant le choix effectué.
Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Question 1 :
Soit la fonction f définie sur R par :
f(x)=e−2x+1e2x+1.
Alors, pour tout réel x :
a. f(x)=e2x
b. f(x)=ex1
c. f(x)=e2x1
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Question 2 :
La courbe Cf ci-après est la représentation graphique d'une fonction f dans un repère orthonormé.
On pose I=∫02f(x)dx.
Alors :
a. 0<I<2
b. 2<I<4
c. 8<I<16
Question 3 :
Soit g la fonction définie sur R par :
g(x)=xex+1.
Alors, pour tout réel x :
a. g′(x)=ex+1
b. g′(x)=(1+x)ex
c. g′(x)=ex
Question 4 :
f est la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 5] par :
f(x)=x3+6x+1.
et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Alors, sur l'intervalle [0 ; 5] :
a. La fonction f est concave
b. La fonction f est convexe
c. La courbe Cf possède un point d'inflexion
Question 1 :
Réponse correcte : a.
On utilise le fait que pour tout réel x : e−2x=e2x1.
Alors :
e−2x+1=e2x1+1=e2x1+e2xe2x=e2x1+e2x=e2xe2x+1.
\vspace{2mm}
Par conséquent :
f(x)=e2xe2x+1e2x+1=(e2x+1)×e2x+1e2x=e2x,
après simplification par e2x+1.
À retenir
Pour tout réel u :
e−u=eu1.
Question 2 :
Réponse correcte : b.
La fonction f est positive sur l'intervalle [0 ; 2].
L'intégrale I est donc égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=2.
Ce domaine est coloré en vert sur le graphique ci-après ; l'unité d'aire est l'aire du carré tracé en rouge.
On voit facilement que l'aire I est comprise entre 2 et 4 unités d'aire.
À retenir
Soit f une fonction définie, continue et positive sur l'intervalle [a ; b] de courbe représentative Cf.
L'intégrale ∫abf(x)dx est égale à l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b.
Question 3 :
Réponse correcte : b.
La dérivée de la fonction constante x⟼1 est nulle.
Pour dériver la fonction x⟼xex on pose :
u(x)=xetv(x)=ex.
Alors :
u′(x)=1etv′(x)=ex.
Donc :
g′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=ex+xex=(1+x)ex,
après factorisation de ex.
Question 4 :
Réponse correcte : b.
f est une fonction polynôme sur l'intervalle [0 ; 5].
f et f′ sont donc dérivables sur l'intervalle [0 ; 5] et :
f′(x)=3x2+6 ;
f′′(x)=6x+1.
f′′ est une fonction affine qui est strictement positive sur l'intervalle [0 ; 5] (en effet, 6x+1 est strictement positif dès lors que x>−61).
La fonction f est donc convexe sur l'intervalle [0 ; 5].
En pratique
Pour montrer qu'une fonction f, deux fois dérivable sur un intervalle I est convexe, on montre que sa dérivée seconde est positive sur I.
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