Matrices - Bac blanc ES/L Sujet 4 - Maths-cours 2018 (spé)
Exercice 3 (5 points)
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
Un service de garde d'enfants dispose d'un toboggan dans son espace de jeux.
Le profil de ce toboggan peut être représenté, dans un repère orthonormé d'unité 1 mètre, par la courbe d'une fonction définie sur l'intervalle à l'aide d'une formule du type :
où et sont quatre réels.
La courbe passe par les points , , et .
Montrer que les réels et sont les solutions d'un système (S) de quatre équations que l'on déterminera.
On pose :
, et
Donner une écriture matricielle du système (S) utilisant les matrices et
À l'aide d'une calculatrice, vérifier que la matrice est inversible et déterminer .
Calculer et et en déduire l'expression de .
Partie B
Cette garderie propose des déjeuners pour les enfants le mercredi après-midi.
Les enfants ont le choix entre deux menus : le menu steak haché - frites et le menu plat du jour.
On a remarqué que :
si un enfant a choisi le menu steak haché - frites un mercredi, la probabilité qu'il choisisse à nouveau ce menu le mercredi suivant est de 0,5 ;
si un enfant a choisi le menu plat du jour un mercredi, la probabilité qu'il choisisse à nouveau ce menu le mercredi suivant est de 0,7.
On sélectionne un enfant au hasard et on note l'état « l'enfant choisit le menu steak haché - frites » et l'état « l'enfant choisit le menu plat du jour ».
Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets et .
Écrire la matrice de transition de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
Montrer que ce graphe admet un état stable que l'on déterminera.
Interpréter ce résultat.
Corrigé
Partie A
Comme la courbe passe par les points , , et , on a , , et .
Or :
;
;
;
.
Donc et sont les solutions du système (S) :
Le produit de matrices est égal à :
Le système peut donc s'écrire sous forme matricielle :
À la calculatrice, on constate que la matrice est inversible et que :
Attention
Attention à l'ordre des matrices !
n'est pas égal à !
Dans le cas présent, n'est même pas calculable car le nombre de colonnes de n'est pas égal au nombre de lignes de .
En utilisant le résultat de la question précédente, on obtient :
Par conséquent , , et .
est donc la fonction définie sur par :
Partie B
On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets et :
La matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre , est:
À retenir
La matrice de transition d'un graphe d'ordre est une matrice carrée d'ordre .
Le coefficient de situé sur la -ième ligne et la -ième colonne est la probabilité inscrite sur l'arc reliant le sommet au sommet (ou 0 s'il cet arc n'existe pas).
La somme des coefficients de chacune des lignes de est égale à 1.
Pour tous les états du graphe : .
Pour que soit un état stable, il faut de plus que :
.
Comme , l'état stable est solution du système :
L'état stable est donc .
À retenir
Un état probabiliste est stable si \bm{PM = P} où est la matrice de transition associée au graphe.
Pour tout graphe probabiliste dont la matrice de transition ne comporte pas de 0, il existe un unique état stable indépendant de l'état initial.
Les états (états probabilistes à l'étape ) convergent vers cet état stable lorsque tend vers l'infini.
En pratique
Pour trouver l'état stable d'un graphe d'ordre 2, on résout le système :
et .
Pour trouver l'état stable d'un graphe d'ordre 3, on résout le système :
et .
Ce résultat peut s'interpréter de la manière suivante : « À long terme, les -ièmes des enfants choisiront le menu steak haché - frites et les -ièmes restants, le menu plat du jour ».