Partie A

1. Comme la courbe $\mathscr{C}$ passe par les points $A(0~;~2)$, ${B(1~;~1,49)}$, ${C(2~;~0,66)}$ et ${D(3~;~0,23)}$, on a ${f(0)=2}$, ${f(1)=1,49}$, ${f(2)=0,66}$ et ${f(3)=0,23}$.

   Or :

   $f(0)=a \times 0^3 +b \times 0^2 + c \times 0 + d$$= d$ ;
   $f(1)=a \times 1^3 +b \times 1^2 + c \times 1 + d$$= a+b+c+d$ ;
   $f(2)=a \times 2^3 +b \times 2^2 + c \times 2 + d$$= 8a+4b+2c+d$ ;
   $f(3)=a \times 3^3 +b \times 3^2 + c \times 3 + d$$= 27a+9b+3c+d$.
   

   Donc $a, b, c$ et $d$ sont les solutions du système (S) :

   $\left\{\begin{array}{c c c c c c c c c} &&&&&&d& = &2\\ a&+&b&+&c&+&d& = &1,49\\ 8a&+&4b&+&2c&+&d& = &0,66\\ 27a&+&9b&+&3c&+&d& = &0,23 \end{array}\right.$

2. Le produit de matrices $M \times X$ est égal à :

   $M \times X = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 \\ 1 &1 &1 &1 \\ 8 &4 &2 &1 \\ 27 &9 &3 &1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d \\ a+b+c+d \\ 8a+4b+2c+d \\ 27a+9b+3c+d \end{pmatrix}$

   Le système $(S)$ peut donc s'écrire sous forme matricielle :

   $M \times X = Y.$

3. À la calculatrice, on constate que la matrice $M$ est inversible et que :

   $M^{ - 1}= \begin{pmatrix} - 1/6 &1/2 & - 1/2 &1/6 \\ 1 & - 5/2 &2 & - 1/2 \\ - 11/6 &3 & - 3/2 &1/3 \\ 1 &0 &0 &0 \end{pmatrix}$

4. $MX=Y \Leftrightarrow X=M^{ - 1}Y.$

   Attention

   Attention à l'ordre des matrices !

   $M^{ - 1}Y$ n'est pas égal à $YM^{ - 1}$ !

   Dans le cas présent, $YM^{ - 1}$ n'est même pas calculable car le nombre de colonnes de $Y$ n'est pas égal au nombre de lignes de $M^{ - 1}$.

   En utilisant le résultat de la question précédente, on obtient :

   $MX=Y \Leftrightarrow X=$$\begin{pmatrix} - 1/6 &1/2 & - 1/2 &1/6 \\ 1 & - 5/2 &2 & - 1/2 \\ - 11/6 &3 & - 3/2 &1/3 \\ 1 &0 &0 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1,49 \\ 0,66 \\ 0,23 \end{pmatrix}$

   $\phantom{ MX=Y }\Leftrightarrow X=$$\begin{pmatrix} 0,12 \\ - 0,52 \\ - 0,11 \\ 2 \end{pmatrix}.$

   Par conséquent $a=0,12$, $b= - 0,52$, $c= - 0,11$ et $d=2$.

   $f$ est donc la fonction définie sur $[0~;~3]$ par :

   $f(x)=0,12x^3 - 0,52x^2 - 0,11x+2.$

Partie B

1. On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$:

   

2. La matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre $A$, $B$ est:

   $M= \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5\\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}.$

   À retenir

   La matrice de transition $M$ d'un graphe $G$ d'ordre $n$ est une matrice carrée d'ordre $n$.

   Le coefficient de $M$ situé sur la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne est la probabilité inscrite sur l'arc reliant le sommet $i$ au sommet $j$ (ou 0 s'il cet arc n'existe pas).

   La somme des coefficients de chacune des lignes de $M$ est égale à 1.

3. Pour tous les états $P = (a\quad b)$ du graphe : $a + b = 1$.

   Pour que $P$ soit un état stable, il faut de plus que $PM = P$ :

   $PM=P \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5\\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0,5a+0,3b & 0,5a+0,7b\end{pmatrix} =$$\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} 0,5a+0,3b &= &a\\ 0,5a+0,7b &=&b \end{array} \right.$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} - 0,5a+0,3b &= &0\\ 0,5a - 0,3b &=& 0 \end{array} \right.$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow 0,5a - 0,3b = 0$.

   Comme $a+b=1$, l'état stable est solution du système $(S)$ :

   $(S) :\ \left\lbrace \begin{array}{r c l} 0,5a - 0,3b & = &0\\ a+b & = & 1 \end{array} \right.$

   $(S)\ \Leftrightarrow \ \left\lbrace \begin{array}{r c l} 0,5a - 0,3(1 - a) & = & 0\\ b & = & 1 - a \end{array} \right.$

   $(S)\ \Leftrightarrow \ \left\lbrace \begin{array}{r c l} 0,8a & = & 0,3\\ b & = & 1 - a \end{array} \right.$

   $(S)\ \Leftrightarrow \ \left\lbrace \begin{aligned} a & = & \dfrac{3}{8}\\ ~// b & = & \dfrac{5}{8} \end{aligned} \right.$

   L'état stable est donc $P=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{8} & \dfrac{5}{8} \end{pmatrix}$.

   À retenir

   Un état probabiliste $P$ est stable si \bm{PM = P} où $M$ est la matrice de transition associée au graphe.

   Pour tout graphe probabiliste dont la matrice de transition ne comporte pas de 0, il existe un unique état stable $P$ indépendant de l'état initial.

   Les états $P_n$ (états probabilistes à l'étape $n$) convergent vers cet état stable lorsque $n$ tend vers l'infini.

   En pratique

   Pour trouver l'état stable $P = (a\quad b)$ d'un graphe d'ordre 2, on résout le système :

   $(a\quad b) \times M = (a\quad b)$  et   $a + b = 1$.

   Pour trouver l'état stable $P = (a\quad b\quad c)$ d'un graphe d'ordre 3, on résout le système :

   $(a\quad b\quad c) \times M = (a\quad b\quad c)$  et  $a + b + c = 1$.

   Ce résultat peut s'interpréter de la manière suivante : « À long terme, les $\dfrac{3}{8}$-ièmes des enfants choisiront le menu steak haché - frites et les $\dfrac{5}{8}$-ièmes restants, le menu plat du jour ».