Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d'en limiter la propagation.

Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d'un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.

Lorsque $t$ représente le temps écoulé, en heures, depuis l'injection de l'antibiotique, $g\left(t\right)$ représente la concentration en mg/l de l'antibiotique.

Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction $g$.

1. Par lecture graphique donner sans justification :

   1. les variations de la fonction $g$ sur $\left[0 ; 10\right]$ ;

   2. la concentration maximale d'antibiotique lors des 10 premières heures ;

   3. l'intervalle de temps pendant lequel la concentration de l'antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2 mg/l

2. 1. La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $\left[0 ; 10\right]$ et sa dérivée est $g^{\prime}$.
      Montrer que :

      $g^{\prime}\left(t\right)=\frac{4\left(1 - t^{2}\right)}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}$.

   2. En utilisant l'expression de $g^{\prime}\left(t\right)$, montrer que la concentration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l'injection

3. On admet que $G$ définie sur $\left[0 ; 10\right]$ par $G\left(t\right)=2\ln \left(t^{2}+1\right)$ est une primitive de $g$ sur cet intervalle.

   Quelle est la concentration moyenne de l'antibiotique pendant les 10 premières heures ? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au millième.

   Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $\left[a ; b\right]$ est donnée par $\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f\left(x\right)dx$.

4. On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d'un antibiotique comme étant la concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier.

   La CMI de l'antibiotique injecté est $1,2$ mg/l.

   Déterminer, par le calcul, le temps d'antibiotique utile c'est-à-dire la durée pendant laquelle la concentration de l'antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.