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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions-Intégrales - Bac ES/L Polynésie 2014

Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d'en limiter la propagation.

Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d'un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.

Temps en heure 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Concentration en mg/l 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4
Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction gg définie sur l'intervalle [0;10]\left[0 ; 10\right] par g(t)=4tt2+1. g\left(t\right)=\frac{4t}{t^{2}+1}.

Lorsque tt représente le temps écoulé, en heures, depuis l'injection de l'antibiotique, g(t)g\left(t\right) représente la concentration en mg/l de l'antibiotique.

Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction gg.

Bac ES/L Polynésie 2014

  1. Par lecture graphique donner sans justification :

    1. les variations de la fonction gg sur [0;10]\left[0 ; 10\right] ;

    2. la concentration maximale d'antibiotique lors des 10 premières heures ;

    3. l'intervalle de temps pendant lequel la concentration de l'antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2 mg/l

    1. La fonction gg est dérivable sur l'intervalle [0;10]\left[0 ; 10\right] et sa dérivée est gg^{\prime}.
      Montrer que :

      g(t)=4(1t2)(t2+1)2g^{\prime}\left(t\right)=\frac{4\left(1 - t^{2}\right)}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}.

    2. En utilisant l'expression de g(t)g^{\prime}\left(t\right), montrer que la concentration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l'injection

  2. On admet que GG définie sur [0;10]\left[0 ; 10\right] par G(t)=2ln(t2+1)G\left(t\right)=2\ln \left(t^{2}+1\right) est une primitive de gg sur cet intervalle.

    Quelle est la concentration moyenne de l'antibiotique pendant les 10 premières heures ? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au millième.

    Rappel : la valeur moyenne d'une fonction ff sur [a;b]\left[a ; b\right] est donnée par 1baabf(x)dx\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f\left(x\right)dx.

  3. On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d'un antibiotique comme étant la concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier.

    La CMI de l'antibiotique injecté est 1,21,2 mg/l.

    Déterminer, par le calcul, le temps d'antibiotique utile c'est-à-dire la durée pendant laquelle la concentration de l'antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.