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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac blanc ES/L Sujet 3 - Maths-cours 2018

Exercice 2 (6 points)

L'objectif de ce problème est d'étudier la convergence de la suite (un)(u_n) définie par u0=2u_0=2 et pour tout entier naturel nn :

un+1=0,9un+2. u_{n+1} = 0,9u_n+2.

Partie A
Étude graphique

Sur le graphique fourni en Annexe (voir ci-dessous), on a représenté les droites DD et Δ\Delta d'équations respectives y=0,9x+2y=0,9x+2 et y=xy=x.

Ces deux droites se coupent en un point MM.

  1. Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point MM.

  2. A0A_0 est le point de la droite DD d'abscisse u0=2u_0=2.

    Expliquer pourquoi l'ordonnée de A0A_0 est égale à u1u_1.

  3. B1B_1 est le point de la droite Δ\Delta tel que la droite (A0B1)(A_0B_1) est parallèle à l'axe des abscisses.

    Exprimer, en fonction de u1u_1, les coordonnées de B1B_1.

  4. Compléter le graphique de l'annexe de manière à faire apparaître, sur l'axe des abscisses, les valeurs de u1, u2, u3, u4, u5u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4,\ u_5 et u6u_6.

  5. À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (un)(u_n).

Partie B
Utilisation d'une suite annexe

Pour tout entier naturel nn, on pose vn=un20v_n=u_n - 20.

  1. Montrer que la suite (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

  2. Exprimer vnv_n en fonction de nn.

  3. Montrer que pour tout entier naturel nn :

    un=2018×0,9n. u_n=20 - 18 \times 0,9^n.

  4. En déduire la limite de la suite (un)(u_n).


ANNEXE

À rendre avec la copie

Suite récurrente - Bac blanc

Corrigé

Partie A

  1. Le point MM est le point d'intersection des droites DD et Δ\Delta d'équations y=0,9x+2y=0,9x+2 et y=xy=x.

    Son abscisse xMx_M est donc solution de l'équation 0,9xM+2=xM0,9x_M+2 = x_M.

    0,9xM+2=xM  2=xM0,9xM0,9x_M+2 = x_M\ \Leftrightarrow \ 2=x_M - 0,9x_M

    0,9xM+2=xM  2=0,1xM\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ 2=0,1x_M

    0,9xM+2=xM  20,1=xM\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ \dfrac{2}{0,1}=x_M

    0,9xM+2=xM  xM=20\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ x_M=20.

    Comme le point MM est situé sur la droite Δ\Delta d'équation y=xy=x son ordonnée est yM=xM=20y_M=x_M=20.

    Les coordonnées de MM sont donc (20 ; 20)(20~;~20).

  2. Le point A0A_0 est situé sur la droite DD d'équation y=0,9x+2y=0,9x+2.

    Son abscisse est u0u_0 ; son ordonnée est donc :

    yA0=0,9u0+2y_{A_0}=0,9u_0+2

    Or, d'après la définition de la suite (un)(u_n) : u1=0,9u0+2u_1=0,9u_0+2 ; par conséquent yA0=u1y_{A_0}=u_1.

    L'ordonnée de A0A_0 est donc u1u_1.

  3. La droite (A0B1)(A_0B_1) est parallèle à l'axe des abscisses donc l'ordonnée de B1B_1 est égale à l'ordonnée de A0A_0 c'est à dire u1u_1.

    Comme le point B1B_1 appartient à la droite Δ\Delta d'équation y=xy=x :

    yB1=xB1=u1y_{B_1}=x_{B_1}=u_1

    Les coordonnées du point BB sont (u1 ; u1)(u_1~;~u_1).

    On réitère la procédure de la manière suivante :

    • on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point B1B_1 ; cette droite coupe DD en un point A1(u1 ; u2)A_1(u_1~;~u_2)

    • on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point A1A_1 ; cette droite coupe DD en un point B2(u2 ; u2)B_2(u_2~;~u_2)

    et ainsi de suite...

    On obtient ainsi le graphique ci-après :

    Construction des termes d'une suite récurrente

    {\footnotesize (Les ordonnées des points n'ont pas été indiquées pour ne pas surcharger la figure)}

  4. On conjecture que lorsque nn augmente, les points AnA_n et BnB_n se rapprochent du point MM et donc que :

    limn+un=20. \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n =20.

Partie B

  1. Pour tout entier naturel nn :

    vn+1=un+120v_{n+1}=u_{n+1} - 20

    vn+1=0,9un+220\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n+2 - 20

    vn+1=0,9un18\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n - 18.

    Or vn=un20v_n=u_n - 20 donc un=vn+20u_n=v_n+20 ; alors :

    vn+1=0,9(vn+20)18v_{n+1}=0,9(v_n+20) - 18

    vn+1=0,9vn+1818\phantom{v_{n+1}}=0,9v_n+18 - 18

    vn+1=0,9vn\phantom{v_{n+1}}=0,9v_n.

    De plus v0=u020=220=18{v_0=u_0 - 20=2 - 20= - 18} ; par conséquent, la suite (vn)(v_n) est une suite géométrique de premier terme v0=18{v_0= - 18} et de raison q=0,9{q=0,9}.

  2. On en déduit que :

    vn=v0qn=18×0,9nv_n=v_0q^n= - 18 \times 0,9^n.

  3. En utilisant la question précédente et la relation un=vn+20u_n=v_n+20 on obtient, pour tout entier naturel nn :

    un=vn+20=2018×0,9nu_n=v_n+20=20 - 18 \times 0,9^n.

  4. 00,9<1 {0 \leqslant 0,9 < 1}\ donc  limn+0,9n=0\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,9^n = 0.

    Alors :

    limn+18×0,9n=0 \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}18 \times 0,9^n = 0\ et  limn+2018×0,9n=20\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}20 - 18 \times 0,9^n = 20.

    La suite (un)(u_n) converge vers 20.

    À retenir

    Soit qq un nombre réel positif ou nul.

    • Si \bm{0 \leqslant q < 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{0}.

    • Si \bm{q > 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{+\infty}.

    (Remarque : si q=1q=1 alors qn=1q^n=1 pour tout entier naturel nn, donc limn+qn=1)\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=1).