Partie A

1. Les coûts fixes sont égaux à $C_t(0)$ :

   $C_t(0)=4 \times 0^3 - 20 \times 0^2 + 80 \times 0 + 100 = 100$

   Les coûts fixes sont de 100 euros.

   Pour une production de 500 litres, soit 5 centaines de litres, le coût total est égal à :

   $C_t(5)=4 \times 5^3 - 20 \times 5^2 + 80 \times 5 + 100 = 500$

   Le coût total pour une production de 500 litres est égal à 500 euros.

2. La tangente en $A$ à la courbe $\mathscr{C}$ est la droite $T_1$. Cette droite passe par le point $A(5~;~500)$ et passe par un point $M$ de coordonnées proches de $(4~;~320)$.

   Le coefficient directeur $a$ de cette tangente est donc approximativement :

   $a=\dfrac{y_M - y_A}{x_M - x_A}=\dfrac{500 - 320}{5 - 4}=180$

   Le coût marginal $C_m(5)$ pour une production de 500 litres est égal au nombre dérivé $C^{\prime}_t(5)$. Or, ce nombre est le coefficient directeur de la tangente au point $A$.

   À retenir

   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $\alpha$ est égal à $f^{\prime}(\alpha)$.

   Le coût marginal pour une production de 500 litres est donc approximativement égal à 180 euros.

3. Notons $x_B$ l'abscisse du point $B$.

   Par lecture graphique, on voit que la fonction $C_t$ est concave sur l'intervalle $[0~;~x_B]$ et convexe sur l'intervalle $[x_B~;~5]$.

   On constate également que les coordonnées du point d'inflexion $B$ sont approximativement $(1,7~;~195)$.

   On peut donc estimer que la fonction $C_t$ est concave sur l'intervalle \bm{[0~;~1,7]} et convexe sur l'intervalle \bm{[1,7~;~5]}.

   À retenir

   Une fonction est convexe si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes (courbe en « $\cup$ »).

   Une fonction est concave si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessous de ses tangentes (courbe en « $\cap$ »).

   Un point d'inflexion est un point où la fonction change de convexité. En ce point, la tangente « traverse » la courbe.

4. La fonction $C_t$ est convexe si et seulement si sa fonction dérivée $C^{\prime}_t$ (identique à la fonction $C_m$) est croissante.

   À retenir

   Si $f$ est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, les propositions suivantes sont équivalentes :

   • la fonction $f$ est connexe sur $I$;

   • la fonction dérivée $f^{\prime}$ est croissante sur $I$;

   • la fonction dérivée seconde $f^{\prime \prime}$ est positive sur $I$;

   \vspace{3mm}

   De même, les propositions suivantes sont équivalentes :

   • la fonction $f$ est concave sur $I$;

   • la fonction dérivée $f^{\prime}$ est décroissante sur $I$;

   • la fonction dérivée seconde $f^{\prime \prime}$ est négative sur $I$;

   D'après la question précédente on peut tracer le tableau ci-après :

   

   Le coût marginal est minimal pour $x=x_B \approx 1,7$.

   Ce minimum vaut $C_m(x_B)=C^{\prime}_t(x_B)$.

   Pour déterminer la valeur de $C^{\prime}_t(x_B)$, on procède comme à la question 2.

   $C^{\prime}_t(x_B)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_2$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$.

   Cette tangente passe approximativement par les points de coordonnées $(0~;~120)$ et $(1,7~;~195)$.

   On a donc :

   $C^{\prime}_t(x_B) \approx \dfrac{195 - 120}{1,7 - 0} \approx 44$

   Le coût marginal minimal peut être estimé à 44 euros.

   Remarque : il ne s'agit que d'une estimation. Vous pouvez tout à fait trouver un résultat légèrement différent. La valeur exacte, calculée dans la partie B, est comprise entre 46 et 47 euros.

Partie B

1. Pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~5]$ :

   $C_m(x)=C^{\prime}_t(x)=4 \times 3x^2 - 20 \times 2x + 80 = 12 x^2 - 40x+ 80$

2. Le point $B$ est le point d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}$. Son abscisse correspond à la valeur de $x$ pour laquelle $C^{\prime \prime}_t(x)$ s'annule et change de signe. Or :

   $C^{\prime \prime}_t(x)=C^{\prime}_m(x)=12 \times 2x - 40=24x - 40$

   $C^{\prime \prime}_t$ est une fonction affine qui s'annule et change de signe pour ${x=\dfrac{40}{24}=\dfrac{5}{3}}$.

   Le point $B$ a donc pour abscisse $\dfrac{5}{3}$.

   L'ordonnée de $B$ est :

   $C_t\left(\dfrac{5}{3}\right)=4 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^3 - 20 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 + 80 \times \dfrac{5}{3} +100 = \dfrac{5300}{27}$

   Les coordonnées de $B$ sont donc $\left(\dfrac{5}{3}~;~\dfrac{5300}{27}\right)$. \vspace{3mm}

   D'après le tableau de la question 4. de la partie A., le coût marginal minimal correspond à $C_m\left(\dfrac{5}{3}\right)$ :

   $C_m\left(\dfrac{5}{3}\right)=12 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 - 40 \times \dfrac{5}{3} +80 = \dfrac{140}{3}$

   Le coût marginal minimum est donc $\dfrac{140}{3}\$($\approx 46,7$ euros).