Partie A

1. La courbe $\mathscr{C}$ passe par le point $O(0~;~0)$. Par conséquent :

   $f(0)=0.$

2. $f^{\prime}(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ au point $O$. Cette droite passe par les points $O(0~;~0)$ et $A(1~;~3)$ donc :

   $f^{\prime}(0)=\dfrac{y_A - y_O}{x_A - x_0}=\dfrac{3 - 0}{1 - 0}=3$.

3. 1. La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~5]$ et ${f(x)=(ax+b)\text{e}^{ - x}+2}$.

      Posons $u(x)=ax+b$ et $v(x)=\text{e}^{ - x}$.

      Alors :

      $u^{\prime}(x)=a$ et $v^{\prime}(x)= - \text{e}^{ - x}$.

      Par ailleurs, 2 étant une constante, la dérivée de la fonction ${x \longmapsto 2}$ est nulle ; par conséquent :

      $f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)$

      $\phantom{f^{\prime}(x)}=a \text{e}^{ - x}+(ax+b)( - \text{e}^{ - x})$

      $\phantom{f^{\prime}(x)}=a \text{e}^{ - x} - (ax+b)\text{e}^{ - x}$

      $\phantom{f^{\prime}(x)}=a \text{e}^{ - x} - ax\text{e}^{ - x} - b\text{e}^{ - x}$.

      On factorise $\text{e}^{ - x}$ :

      $f^{\prime}(x)=( - ax+a - b)\text{e}^{ - x}$.

      Attention

      La dérivée du produit $uv$ n'est pas $u^{\prime}v^{\prime}$ mais $u^{\prime}v+uv^{\prime}$ !

   2. Comme $f(x)=(ax+b)\text{e}^{ - x}+2$, alors :

      $f(0)=b\text{e}^{0}+2=b+2$.

      Par ailleurs, $f^{\prime}(x)=( - ax+a - b)\text{e}^{ - x}$ donc :

      $f^{\prime}(0)=(a - b)\text{e}^{0}=a - b$.

      Or, $f(0)=0$ donc $b+2=0$ et $b= - 2$.

      De plus $f^{\prime}(0)=3$ donc $a - b=3$ soit ${a=b+3= - 2+3=1}$.

      En pratique

      Pour déterminer $a$ et $b$, pensez à utiliser les résultats des questions précédentes (ici, c'est même indiqué dans l'énoncé !).

      Les égalités $f(0)=0$ et $f^{\prime}(0)=3$ nous donnent deux équations qui nous permettent de déterminer $a$ et $b$.

      $f$ est donc définie sur $[0~;~5]$ par :

      $f(x)=(x - 2)\text{e}^{ - x}+2.$

Partie B

1. La fonction $f : x \longmapsto (x - 2)\text{e}^{ - x}+2$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~5]$.

   Posons $u(x)=x - 2$ et $v(x)=\text{e}^{ - x}$.

   Alors :

   $u^{\prime}(x)=1$ et $v^{\prime}(x)= - \text{e}^{ - x}$.

   $f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x) + 0$

   $\phantom{f^{\prime}(x)}= \text{e}^{ - x}+(x - 2)( - \text{e}^{ - x})$

   $\phantom{f^{\prime}(x)}= \text{e}^{ - x} - (x - 2)\text{e}^{ - x}$

   $\phantom{f^{\prime}(x)}= \text{e}^{ - x} - x\text{e}^{ - x} + 2\text{e}^{ - x}$.

   On factorise $\text{e}^{ - x}$ :

   $f^{\prime}(x)=(3 - x)\text{e}^{ - x}$.

   Remarque

   Pour calculer $f^{\prime}(x)$ on pouvait également utiliser le résultat de la question 3.a. et remplacer $a$ par $1$ et $b$ par $- 2$.

   La fonction exponentielle prend ses valeurs dans l'intervalle $]0~;+~\infty[$ donc, pour tout réel $x$, ${\text{e}^{ - x} > 0}$.

   $f^{\prime}(x)$ est donc du signe de $3 - x$.

   La fonction $x \longmapsto 3 - x$ est une fonction affine qui s'annule pour $x=3$ et est strictement positive si et seulement si $x < 3$.

   De plus :

   $f(3)=(3 - 2)\text{e}^{ - 3}+2=\text{e}^{ - 3}+2\$ et $f(5)=(5 - 2)\text{e}^{ - 5}+2=3\text{e}^{ - 5}+2$.

   On en déduit le tableau de variations de $f$ :

   

   Remarque

   Sauf indication contraire de l'énoncé, il est préférable de conserver les valeurs exactes (ici, c'est même impératif car précisé dans la question) dans le tableau de variations, quitte à calculer une valeur approchée par la suite si nécessaire.

2. $\text{e}^{ - 3}+2 \approx 2,05$
   $3\text{e}^{ - 5}+2 \approx 2,02$

   Sur l'intervalle $[0~;~3]$, $f$ est continue et strictement croissante. 1 appartient à l'intervalle $[0~;\text{e}^{ - 3}+2 ]$ donc l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~3]$.

   Sur l'intervalle $[3~;~5]$, le minimum de $f$ est supérieur à 2 donc l'équation ${f(x)=1}$ n'a pas de solution sur cet intervalle.

   Par conséquent, l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~5]$.

3. À la calculatrice, on trouve :

   $f(0,442) \approx 0,9986 < 1$ ;

   $f(0,443) \approx 1,0002 > 1$.

   Par conséquent : $0,442 < \alpha < 0,443$.

   Bien rédiger

   Pour justifier un encadrement du type ${\alpha_1 < \alpha < \alpha_2}$, vous pouvez indiquer sur votre copie les valeurs de $f(\alpha_1)$ et de $f(\alpha_2)$ que vous avez obtenues à la calculatrice.

4. La fonction $f^{\prime} : x \longmapsto (3 - x)\text{e}^{ - x}$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~5]$.

   Posons $u(x)=3 - x$ et $v(x)=\text{e}^{ - x}$.

   Alors :

   $u^{\prime}(x)= - 1$ et $v^{\prime}(x)= - \text{e}^{ - x}$.

   $f^{\prime \prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x) + 0$

   $\phantom{f^{\prime \prime}(x)}= - 1 \times \text{e}^{ - x}+(3 - x)( - \text{e}^{ - x})$

   $\phantom{f^{\prime \prime}(x)}= - \text{e}^{ - x} - (3 - x)\text{e}^{ - x}$

   $\phantom{f^{\prime \prime}(x)}=( - 1 - 3+x)\text{e}^{ - x}$

   $\phantom{f^{\prime \prime}(x)}=(x - 4)\text{e}^{ - x}$.

   Pour tout réel $x$, ${\text{e}^{ - x} > 0}$, donc $f^{\prime \prime}(x)$ est donc du signe de $x - 4$.

   La fonction $x \longmapsto x - 4$ est une fonction affine qui s'annule pour et change de signe pour $x=4$.

   La courbe $\mathscr{C}$ possède donc un unique point d'inflexion d'abscisse $4$ et d'ordonnée $f(4)=2 \text{e}^{ - 4}+2$.