Fonction exponentielle - Bac blanc ES/L Sujet 3 - Maths-cours 2018
Exercice 3 (5 points)
On a représenté, ci-après, la courbe d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ainsi que la tangente à cette courbe au point , origine du repère.
On note la fonction dérivée de la fonction .
Partie A
Préciser la valeur de .
La tangente passe par le point .
Déterminer la valeur de .
On admet que la fonction est définie sur l'intervalle par une expression de la forme :
où et sont deux nombres réels.
Montrer que pour tout réel de l'intervalle :
À l'aide des questions 1. et 2., déterminer les valeurs de et .
Partie B
Par la suite, on considèrera que la fonction est définie sur l'intervalle par :
Calculer et tracer le tableau de variations de sur l'intervalle .
On placera, dans le tableau, les valeurs exactes de , de et du maximum de sur l'intervalle .
Montrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
Donner un encadrement de d'amplitude .
Montrer que la courbe possède un unique point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.
Corrigé
Partie A
La courbe passe par le point . Par conséquent :
est le coefficient directeur de la tangente au point . Cette droite passe par les points et donc :
.
La fonction est définie et dérivable sur l'intervalle et .
Posons et .
Alors :
et .
Par ailleurs, 2 étant une constante, la dérivée de la fonction est nulle ; par conséquent :
.
On factorise :
.
Attention
La dérivée du produit n'est pas mais !
Comme , alors :
.
Par ailleurs, donc :
.
Or, donc et .
De plus donc soit .
En pratique
Pour déterminer et , pensez à utiliser les résultats des questions précédentes (ici, c'est même indiqué dans l'énoncé !).
Les égalités et nous donnent deux équations qui nous permettent de déterminer et .
est donc définie sur par :
Partie B
La fonction est définie et dérivable sur l'intervalle .
Posons et .
Alors :
et .
.
On factorise :
.
Remarque
Pour calculer on pouvait également utiliser le résultat de la question 3.a. et remplacer par et par .
La fonction exponentielle prend ses valeurs dans l'intervalle donc, pour tout réel , .
est donc du signe de .
La fonction est une fonction affine qui s'annule pour et est strictement positive si et seulement si .
De plus :
et .
On en déduit le tableau de variations de :
Remarque
Sauf indication contraire de l'énoncé, il est préférable de conserver les valeurs exactes (ici, c'est même impératif car précisé dans la question) dans le tableau de variations, quitte à calculer une valeur approchée par la suite si nécessaire.
Sur l'intervalle , est continue et strictement croissante. 1 appartient à l'intervalle donc l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , le minimum de est supérieur à 2 donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
Par conséquent, l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
À la calculatrice, on trouve :
;
.
Par conséquent : .
Bien rédiger
Pour justifier un encadrement du type , vous pouvez indiquer sur votre copie les valeurs de et de que vous avez obtenues à la calculatrice.
La fonction est dérivable sur l'intervalle .
Posons et .
Alors :
et .
.
Pour tout réel , , donc est donc du signe de .
La fonction est une fonction affine qui s'annule pour et change de signe pour .
La courbe possède donc un unique point d'inflexion d'abscisse et d'ordonnée .