Produit scalaire dans l’espace – Bac S – Amérique du Nord 2008

Exercice 2

(5 points)-Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment \left[AD\right].

1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, \overrightarrow{MD} . \overrightarrow{MA}=MI^{2}-IA^{2}
2. En déduire l’ensemble \left(E\right) des points M de l’espace tels que \overrightarrow{MD} . \overrightarrow{MA}=0

Partie B

Dans l’espace rapporté au repère orthonormal \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right), les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A\left(3 ; 0 ; 0\right), B\left(0 ; 6 ; 0\right), C\left(0 ; 0 ; 4\right) et D\left(-5 ; 0 ; 1\right).

1. 1. Vérifier que le vecteur \vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} est normal au plan \left(ABC\right).
   2. Déterminer une équation du plan \left(ABC\right).
2. 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta , orthogonale au plan \left(ABC\right) passant par D.
   2. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan \left(ABC\right).
   3. Calculer la distance du point D au plan \left(ABC\right).
   4. Démontrer que le point H appartient à l’ensemble \left(E\right) défini dans la partie A.