Étude de fonction et équations – Bac S Amérique du Nord 2008

(6 points) Commun à tous les candidats Soit $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $ par $ f\left(x\right)=\ln x - \dfrac{1}{\ln x} $.

On nomme $ \left(C\right) $ la courbe représentative de $ f $ et $ \Gamma $ la courbe d'équation $ y=\ln x $ dans un repère orthogonal $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $.

1. Étudier les variations de la fonction $ f $ et préciser les limites en $ 1 $ et en $ +\infty $.
2. 1. Déterminer $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty }\left[f\left(x\right) - \ln x\right] $. Interpréter graphiquement cette limite.
   2. Préciser les positions relatives de $ \left(C\right) $ et de $ \Gamma $.

3. On se propose de chercher les tangentes à la courbes $ \left(C\right) $ passant par le point $ O $.

   1. Soit $ a $ un réel appartenant à l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $.
      
      Démontrer que la tangente $ T_{a} $ à $ \left(C\right) $ au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si $ f\left(a\right) - a f^{\prime}\left(a\right)=0 $.
      
      Soit $ g $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $ par $ g\left(x\right)=f\left(x\right) - x f^{\prime} \left(x\right) $.
   2. Montrer que sur $ \left]1; +\infty \right[ $, les équations $ g\left(x\right)=0 $ et $ \left(\ln x\right)^{3} - \left(\ln x\right)^{2} - \ln x - 1=0 $ ont les mêmes solutions.
   3. Après avoir étudié les variations de la fonction $ u $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ u\left(t\right)=t^{3} - t^{2} - t - 1 $, montrer que la fonction $ u $ s'annule une fois et une seule sur $ \mathbb{R} $.

   4. En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe $ \left(C\right) $ passant par le point $ O $.

      La courbe $ \left(C\right) $ et la courbe $ \Gamma $ sont données en annexe ci-dessous.

      Représentations graphiques obtenues à l'aide d'un tableur :

      

      Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

4. On considère un réel $ m $ et l'équation $ f\left(x\right)=mx $ d'inconnue $ x $.
   
   Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel $ m $, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle $ \left]1 ; 10\right] $.

Corrigé