Tangentes communes

Corrigé

f^{\prime}\left(x\right)=2x-4
g^{\prime}\left(x\right)=-2x+2

Soit A un point de C_{f} d’abscisse a. La tangente à C_{f} au point A a pour équation :
y=f^{\prime}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)

Ce qui donne :
y=\left(2a-4\right)x-\left(2a-4\right)a+a^{2}-4a+3
y=\left(2a-4\right)x-a^{2}+3

Soit B un point de C_{g} d’abscisse b. La tangente à C_{g} au point B a pour équation :
y=g^{\prime}\left(b\right)\left(x-b\right)+g\left(b\right)
Après calcul :
y=\left(-2b+2\right)x+b^{2}-3

Ces deux tangentes sont identiques si et seulement si :
\left\{ \begin{matrix} 2a-4=-2b+2 \\ -a^{2}+3=b^{2}-3 \end{matrix}\right.

On obtient un système de 2 équations à 2 inconnues. La première équation donne a=3-b puis par substitution dans la seconde:
-\left(3-b\right)^{2}+3=b^{2}-3
Soit : 2b^{2}-6b+3=0

Ce qui donne les solutions :
b_{1}=\frac{3+\sqrt{3}}{2} et b_{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}
et comme a=3-b
a_{1}=\frac{3-\sqrt{3}}{2} et a_{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}

Il suffit ensuite de remplacer a par a_{1} et a_{2} dans l’équation de la tangente à C_{f} au point A (ou de remplacer b par b_{1} et b_{2} dans l’équation de la tangente à C_{g} au point B) pour trouver les équations des tangentes:

• y=\left(\sqrt{3}-1\right)x-\frac{3\sqrt{3}}{2}
• y=\left(-\sqrt{3}-1\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{2}