f′(x)=2x−4
g′(x)=−2x+2
Soit A un point de Cf d'abscisse a. La tangente à Cf au point A a pour équation :
y=f′(a)(x−a)+f(a)
Ce qui donne :
y=(2a−4)x−(2a−4)a+a2−4a+3
y=(2a−4)x−a2+3
Soit B un point de Cg d'abscisse b. La tangente à Cg au point B a pour équation :
y=g′(b)(x−b)+g(b)
Après calcul :
y=(−2b+2)x+b2−3
Ces deux tangentes sont identiques si et seulement si :
{2a−4=−2b+2−a2+3=b2−3
On obtient un système de 2 équations à 2 inconnues. La première équation donne a=3−b puis par substitution dans la seconde:
−(3−b)2+3=b2−3
Soit : 2b2−6b+3=0
Ce qui donne les solutions :
b1=23+√3 et b2=23−√3
et comme a=3−b
a1=23−√3 et a2=23+√3
Il suffit ensuite de remplacer a par a1 et a2 dans l'équation de la tangente à Cf au point A (ou de remplacer b par b1 et b2 dans l'équation de la tangente à Cg au point B) pour trouver les équations des tangentes:
