Points d’intersection avec une tangente

1. La fonction $ f $ est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur $ \mathbb{R} . $

   Sa dérivée est définie par :
   $ f^{\prime} (x) =3x^2 - 2x - 1 $

   Étudions le signe de $ f^{\prime} $ :
   $ \Delta = ( - 2) ^2 - 4 \times 3 \times ( - 1) = 16 > 0 $

   $ f^{\prime} $ admet donc 2 racines :
   $ x_1= \dfrac{ 2 - \sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = - \dfrac{ 2 }{ 6 } = - \dfrac{ 1 }{ 3 } $
   $ x_2= \dfrac{ 2 +\sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = \dfrac{ 6 }{ 6 } = 1 $

   Le coefficient de $ x^2 ~ (a=3) $, est strictement positif. On en déduit le tableau de signes de $ f^{\prime} $ et le tableau de variations de $ f $ , compte tenu du fait que :

   $ f \left( - \dfrac{ 1 }{ 3 } \right) = - \dfrac{ 1 }{ 27 } - \dfrac{ 1 }{ 9 } + \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 5 }{ 27 } $
   $ f (1) =1 - 1 - 1= - 1 $

   
2. Les abscisses des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation :
   $ x^{ 3 } - x^2 - x=0 $
   
   Cette équation équivaut à :
   $ x \left( x^2 - x - 1 \right) =0 $
   
   soit $ x=0 $ ou $ x^2 - x - 1=0 $
   
   Le discriminant de $ x^2 - x - 1 $ est :
   $ \Delta = ( - 1) ^2 - 4 \times 1 \times ( - 1) =5 >0 $
   
   L'équation $ x^2 - x - 1 $ admet donc 2 solutions :
   $ x= \dfrac{ 1+ \sqrt { 5 } }{ 2 } $ ou $ x= \dfrac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } . $
   
   En conclusion, la courbe $ \mathscr{C} $ coupe l'axe des abscisses en trois points de coordonnées respectives :
   $ \left( 0 ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 + \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) $.

3. L'équation de la tangente $ \left( T_{ a } \right) $ au point d'abscisse $ a $ est donnée par la formule :

   $ y=f^{\prime} (a) (x - a) +f (a) $

   Ici, on obtient :
   $ y= (3a^2 - 2a - 1) (x - a) +a^{ 3 } - a^2 - a $
   $ y= (3a^2 - 2a - 1) x - 3a^{ 3} +2a^2 +a+a^{ 3 } - a^2 - a $
   $ y = (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2 $ 

4. 1. $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) = (x^2 - 2ax+a^2 ) (x+2a - 1) $
      $ \phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} +2ax^2 - x^2 - 2ax^2 - 4a^2 x+2ax +a^2 x+2a^{ 3 } - a^2 $
      $ \phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2 . $
   2. Pour déterminer les abscisses des points d'intersection de $ \mathscr{C} $ et de $ \left( T_{ a } \right) $, on résout l'équation :
      
      $ x^{ 3} - x^2 - x= (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2 $ 
      $ x^{ 3} - x^2 - x - (3a^2 - 2a - 1) x+ 2a^{ 3 } - a^2=0 $ 
      $ x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2=0 $
      
      d'après la question précédente, cette équation équivaut à :
      $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) =0 $ 
      
      par conséquent :
      $ (x - a) ^2 =0 $ ou $ x+2a - 1=0 $ 
      $ x=a $ ou $ x= - 2a+1 $ 
      
      On a donc, en général, deux points d'intersection d'abscisses respectives $\mathbf{a}$ et $\mathbf{- 2a+1}$.
      
      Toutefois, ces points peuvent être confondus si $ a= - 2a+1 $ c'est-à-dire si $ 3a=1 $ soit $ a= \dfrac{ 1 }{ 3 } $ ; on a alors un seul point d'intersection : le point d'abscisse $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $.

Pour réviser : Déterminer l'équation d'une tangente à une courbe