La fonction $f$ est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur $\mathbb{R} .$

Sa dérivée est définie par :
$f^{\prime} (x) =3x^2 - 2x - 1$

Étudions le signe de $f^{\prime}$ :
$\Delta = ( - 2) ^2 - 4 \times 3 \times ( - 1) = 16 > 0$

$f^{\prime}$ admet donc 2 racines :
$x_1= \frac{ 2 - \sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = - \frac{ 2 }{ 6 } = - \frac{ 1 }{ 3 }$
$x_2= \frac{ 2 +\sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = \frac{ 6 }{ 6 } = 1$

Le coefficient de $x^2 ~ (a=3)$, est strictement positif. On en déduit le tableau de signes de $f^{\prime}$ et le tableau de variations de $f$ , compte tenu du fait que :

$f \left( - \frac{ 1 }{ 3 } \right) = - \frac{ 1 }{ 27 } - \frac{ 1 }{ 9 } + \frac{ 1 }{ 3 } = \frac{ 5 }{ 27 }$
$f (1) =1 - 1 - 1= - 1$

Les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation :
$x^{ 3 } - x^2 - x=0$

Cette équation équivaut à :
$x \left( x^2 - x - 1 \right) =0$

soit $x=0$ ou $x^2 - x - 1=0$

Le discriminant de $x^2 - x - 1$ est :
$\Delta = ( - 1) ^2 - 4 \times 1 \times ( - 1) =5 >0$

L'équation $x^2 - x - 1$ admet donc 2 solutions :
$x= \frac{ 1+ \sqrt { 5 } }{ 2 }$ ou $x= \frac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } .$

En conclusion, la courbe $\mathscr{C}$ coupe l'axe des abscisses en trois points de coordonnées respectives :
$\left( 0 ; 0 \right) , \left( \frac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) , \left( \frac{ 1 + \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right)$.

L'équation de la tangente $\left( T_{ a } \right)$ au point d'abscisse $a$ est donnée par la formule :

Ici, on obtient :
$y= (3a^2 - 2a - 1) (x - a) +a^{ 3 } - a^2 - a$
$y= (3a^2 - 2a - 1) x - 3a^{ 3} +2a^2 +a+a^{ 3 } - a^2 - a$
$y = (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2$ 

1. $(x - a) ^2 (x+2a - 1) = (x^2 - 2ax+a^2 ) (x+2a - 1)$
   $\phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} +2ax^2 - x^2$$- 2ax^2 - 4a^2 x+2ax$$+a^2 x+2a^{ 3 } - a^2$
   $\phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2 .$

2. Pour déterminer les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}$ et de $\left( T_{ a } \right)$, on résout l'équation :

   $x^{ 3} - x^2 - x= (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2$ 
   $x^{ 3} - x^2 - x - (3a^2 - 2a - 1) x+ 2a^{ 3 } - a^2=0$ 
   $x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2=0$

   d'après la question précédente, cette équation équivaut à :
   $(x - a) ^2 (x+2a - 1) =0$ 

   par conséquent :
   $(x - a) ^2 =0$ ou $x+2a - 1=0$ 
   $x=a$ ou $x= - 2a+1$ 

   On a donc, en général, deux points d'intersection d'abscisses respectives $a$ et $- 2a+1.$

   Toutefois, ces points peuvent être confondus si $a= - 2a+1$ c'est-à-dire si $3a=1$ soit $a= \frac{ 1 }{ 3 }$ ; on a alors un seul point d'intersection qui est le point d'abscisse $\frac{ 1 }{ 3 } .$